開集合

質問

開集合は可算個の開区間の和で書けることの証明が知りたい
のですがどなたか式を使って示してもらえないでしょうか

回答No.4

zk43

Ｏを開集合とすると、Ｏの任意の点ｘは内点なので、ｘのある開近傍
（ｘ－ε、ｘ＋ε）はＯに含まれている。
ｘを動かして考えれば、Ｏ⊂∪（ｘ－ε、ｘ＋ε）
（ここに、εはｘに依存する。）
逆向きの包含関係は明らかだから、Ｏ＝∪（ｘ－ε、ｘ＋ε）
すなわち、Ｏは開区間の和集合として表せる。
問題は、この中から可算個を選べるかどうかである。
ｘ∈Ｏに対して、ｘを含む開区間で、Ｏ内に収まるような最大の開区間
を考える。
つまり、（ｘ－ｓ、ｘ]がＯ内に収まるような最大のｓ（正確には上
限）、[ｘ、ｘ＋ｔ）がＯ内に収まるような最大のｔを考える。
すると、Ｏは開区間（ｘ－ｓ、ｘ＋ｔ）の和集合になっている。
（もちろん、ｓ、ｔはｘに依存する。）
ここで、このような開区間全体の集合の中で、異なる２つの開区間、
（ｘ－ｓ、ｘ＋ｔ）と（ｙ－ｕ、ｙ＋ｖ）をとり、もし、この２つ
の開区間に交わりがあるとすると、ｘ、ｙを含む開区間でＯに含まれる
開区間の幅が（ｘ－ｓ、ｘ＋ｔ）、（ｙ－ｕ、ｙ＋ｖ）より大きいもの
が存在することになり、ｓ、ｔ、ｕ、ｖの最大性に反するので、上の
ような開区間全体の集合のどの異なる２つの開区間も交わりを持たな
い。
つまり、任意の開集合Ｏは、交わりを持たない開区間の和集合で表せ
る。
そして、各開区間から一つ有理数を選ぶと（有理数の稠密性から必ず
取れる）、各開区間は交わりを持たないことから、これらの有理数は
どれも異なり、したがって、開区間全体の集合から、有理数全体の
集合への単射が構成されることになる。
よって、有理数全体は可算集合なので、この開区間全体の集合も可算
集合である。