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開集合
kabaokabaの回答
- kabaokaba
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丸投げにしか見えないのが問題． ＃No.1さんはそれを暗に指摘しているだけでしょう 任意の開集合が「開区間」の和になるはずはないから 正しくは 「実数の普通の位相での，任意の開集合は 可算個の開集合の和集合で表わせる」 ということでしょう． 証明の方針というか，キモの部分は以下の通り． ただし，質問者の学習段階が一切不明なので とりあえず一般の場合を考えます． (1) 実数の任意の開集合は「開区間」の和集合である． 正確には以下の通り． 実数の任意の開集合に対して連結成分分解をすると 各連結成分は開集合であり， 実数の連結な開集合は開区間である (2) 連結な開区間はすべて開区間(0,1)と位相同型である (3) 開区間(0,1)は有理数を「中心」とする 微小な開集合の和集合で表わせる (4) 有理数の集合は可算無限集合 (5) 有理数の集合は実数の集合の中で稠密 ここまでいえば自明でしょう． テクニカルタームでいえば 「実数は可算開基を持つ」ということです． 「可算開基」で調べると一番シンプルなケースとして 今回の内容がでてるかもしれません．
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お礼
説明ありがとうございます。 しかしこれは丸上げなどではありません。 どう判断しているのか知りませんが。 式を使ってというのは口頭の説明だけでは納得しない 人達もいるからです。式でも表せるようにしたいと思ったまで。 自分の書き方が悪かったのもありますがNo1さんはどうみても 嫌味にしか見えないですね。