値の範囲の問題

質問

こんばんは
私は、数学I～IIあたりの学力です。
x、y 実数で、2^x+2^y＝4^x+4^y＝k のとき、kの値の範囲を求めよ。
詳しい解説あれば助かります。
よろしくお願いします。

回答No.3

nettiw

>> x、y 実数。
>> (2^x)+(2^y)=(4^x)+(4^y)=k。
>> kの値の範囲。

　　(2^x)=a ＞0　 →　(4^x)=(a^2)
　　(2^y)=b ＞0　 →　(4^y)=(b^2)
　　　　　ab＞0

Ａ　　　(2^x)+(2^y)=a+b=k ＞0
　　　　(4^x)+(4^y)=(a^2)+(b^2)=k ＞0

　　 ｛ (a+b)^2 ｝=(a^2)+2ab+(b^2)
　　　　　　 (k^2)=2ab+k
　　　　　　　 2ab=(k^2)-k　＞0
　　　　　　　　　　 k(k-1)＞0
　　　　　　　　　　　 (k-1)＞0
　　　　　　　　　　　　　　 k＞1

Ｂ　　　　ab=[｛ (k^2)-k ｝/2]

　　　　　　　　　　　　(t-a)(t-b)=0
　　　　　　　　(t^2)-(a+b)t+ab=0
　　(t^2)-kt+[｛ (k^2)-k ｝/2]=0

　　　　　　　　　　　　D≧0
　(k^2)-2｛ (k^2)-k ｝≧0
　　　(k^2)-2(k^2)+2k≧0
　　　　　　　-(k^2)+2k≧0
　　　　　　　　(k^2)-2k≦0
　　　　　　　　　　k(k-2)≦0
　　　　　　　　　　　(k-2)≦0
　　　　　　　　　　　　 k≦2

　　　　　　　-----------------------
　　　　　　　　1＜k≦2 (解)

回答No.2

take_5

2^x＝a、2^y＝bとおくと、4^x＝a＾2、4^y＝b＾2となる。
従って、a＋b＝a＾2＋b＾2＝k（a＞0、b＞0）の時のkの値の範囲を求めよ、という問題になる。
ここからの解法はいくつかあるが、一番オーソドックスなのは

a＋b＝k、a＾2＋b＾2＝（a＋b）＾2－2ab＝k＾2-2ab＝kよりaとbは、t＾2-kt＋（k＾2-k）/2＝0の2つの正の実数解であるから、判別式≧0、2解の和＞0、2解の積＞0として求めると良い。

その他の方法としては、a＋b＝a＾2＋b＾2　（a＞0、b＞0）をab平面上に図示して、直線：a＋b＝kよりkの値の範囲を求める方法。

その他、三角関数を使ってのパラメーター表示を使う手もある。

回答No.1

joggingman

2^x=X,2^y=Yとおきます。X,Y>0です。
4^x=(2^2)^x=(2^X)^2=X^2,4^y=Y^2なので、

X+Y=kより、0<X,Y<k
とすると、Y=k-XをX^2+Y^2=kに代入し、
X^2+(k-X)^2=k
2X^2-2kX+k^2-k=0
0 < X=(1/2)* [k±√{k(2-k)}] <k
0 < k ±√{k(2-k)}　< 2k
となるには、
0<√{k(2-k)}<k　⇒　k(2-k)<k^2　⇒　0<2k(k-1)　⇒　1<k
このとき、k-√{k(2-k)}<2k　である。
√{k(2-k)} < 2k-k　からも同じ結果がでる。
0<k<2　かつ 1<k　⇒　ゆえに　1 < k <2

もしくは、
X+Y=k　の直線（ｘ切片、ｙ切片がｋで、第一象限）
X^2+Y^2=kの円　（半径√k の円の第一象限）
が交点を持つ条件より、
k/√2　<　√k < k