正四面体に引いた垂線の長さの比 を求めよ。

質問

正四面体ＡＢＣＤ があり、一辺の長さは６である。辺 ＢＣ の中点をＭ、頂点Ａ から線分ＭＤ に引いた垂線をＡＨ とする。

線分 ＭＨ と ＨＤ の長さの比は、□：□　であることが分かる。　・・という問題です。

解答は、√3：２√3　＝　１：２　となっていますが、なぜそうなるのでしょうか？

私は、正四面体とあり、頂点Ａ から垂線を・・とあるので、Ｈ は直角で、ＭＨ もＨＤ も同じ長さ（１：１）と考えてしまいます。また、１：２になるならばＨ は直角にはならないように思うのですが、理解できず悩んでいます。

どうか回答をお願い致します。

回答No.2

debut · ベストアンサー

ＡＭは正三角形の中線なので、辺の比から３√３です。
また、ＡＤ＝６です。
よって、断面の△ＡＭＤは二等辺三角形ではないので
Ａから△ＡＭＤの底辺ＭＤに垂線を下ろすとその点はＭＤの
中点にはならない、という見方もあります。

ＭＨ＝ｘとすれば、直角三角形ＡＭＨで三平方の定理
から、ＡＨ^2＝(３√３)^2－ｘ^2＝27－ｘ^2・・・(1)
また、ＤＭ＝３√３からＤＨ＝３√３－ｘと表され、ＡＤ＝６
より、直角三角形ＡＤＨで、ＡＨ^2＝６^2－(３√３－ｘ)^2＝
＝９＋６√３ｘ－ｘ^2・・・(2)
(1)=(2)から
27－ｘ^2＝９＋６√３ｘ－ｘ^2
－６√３ｘ＝－18
∴ｘ＝√３＝ＭＨ、ＤＨ＝２√３　と　やはり１：２となります。

お礼

詳しい説明を本当に有難うございました。ご回答いただき理解することができました。数学が大変苦手で、些細なことから詳しく教えていただいたことで理解でき感謝しています。