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無限級数をフーリエ級数で計算する
protoの回答
>私はF(X)=X^2をフーリエ展開すると >X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....という答えがたまたまでてきたので、 >そこにX=πをいれればξ(2)=(1/6)π^2が成り立つと思っていたのですが、 >そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか? もう少し冷静になって理論展開をたどった方がいいと思います。 まずX^2をフーリエ展開するとどうなりますか? X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2).... ではないですよね? なんせ、これだと右辺には変数のXが登場しないから定数ですよ。 そうではなくてX^2の展開はフーリエ級数の基本に忠実に計算して、 X^2=1/(3)*π^2 +4(cos(X)/(1^2) +cos(2X)/(2^2) + cos(3X)/(3^2).... です。これは参考urlにも書いてあります。 右辺にもXが含まれていて、関数X^2が右辺では三角関数(cos(nX))の和で表されていることがわかります。 ここまでは純粋にフーリエ級数の話で、ζ関数はまだ出てきていません。 ここで先ほど展開した式にX=πを代入するのがポイントなんですね。 普通に両辺にX=πを代入するだけです。 代入すると π^2 = 1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2).... になりますね。 このとき4で括られた括弧の中が偶然にもζ(2)と同じ形をしているんですね。 ですから右辺を書き換えて π^2 = 1/(3)*π^2 +4*ζ(2) ここから、ζ(2)=...の形に式を整理すれば ξ(2)=(1/6)π^2 が示されます。 全てF(X)=X^2で良いうことですか?というのはよく意味がわからないんですが、 おそらくζ(4)の値を求めるときにはF(X)=X^4としてF(X)をフーリエ展開するんだと思いますよ。
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お礼
お礼でなくて間違って補足に入力していました^^;
補足
ありがとうございます。 X=にπなりをいれて級数の形を整える事は分かっていたのですが、その級数が1/(奇数^2)にするにはどうすればいいのかが分からなかったのです。 F(X)=Xで級数が出てきたので、なんとか解けました。