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コーシーの判定法の証明
コーシーの判定法 正項級数ΣAnに対して n√An(n乗根) → r (n→∞)が存在する。 その時、 0 ≦ r < 1 ならば 収束 1 < r ≦ ∞ ならば 発散 上記を証明しているところなのですが、 0 ≦ r < 1 , 1 < r < ∞までは証明ができたのですが r=∞の時ができません。どのように証明を進めればよいでしょうか？
- jon-td-deen
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- yoikagari
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級数Σ[n=1,∞]A_nが発散するのを証明する有効手段として lim_[n→∞]A_n≠0を示すという手があります。 証明 もしΣ[n=1,∞]A_nが収束するのであれば S_k=Σ[n=1,k]A_n,S=Σ[n=1,∞]A_nとおきますと lim_[n→∞]A_n=lim_[n→∞]S_n-lim_[n→∞]S_(n-1)=S-S=0 となります したがって、「Σ[n=1,∞]A_nが収束する⇒lim_[n→∞]A_n=0」がいえます。 よって対偶をとれば「lim_[n→∞]A_n≠0⇒Σ[n=1,∞]A_nは発散する」がいえます。
お礼
その定理を用いることでできました。ありがとうございました。
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