数列の合計

質問

数列の問題でΣ((k(k-1)(k-2))/6 を求めよという問題ですが途中の計算で
((k+1)k(k-1)(k-2))/24 - ((k-1)(k-2)(k-3))/24 = (k(k-1)(k-2))/6 を
前提としています。素直に上記の式を解いても右辺の式と一致しないのですが何か勘案すべき前提があるのでしょうか

回答No.4

info22 · ベストアンサー

>回答例のほうが間違っていると判断してよいですよね？
間違っていますね。
多分回答者のうっかりミスか誤植でしょう。
問題集の解答作りは学生や大学院生がアルバイトでやっている場合も多いと思います。執筆者が間違いをちゃんとチェックしなかったのかも知れませんね。
どんな問題集こ解答例がいつも正しいとは限りません。自分でおかしいと思ったら正しいかチェックすることも必要です。式そのものを計算してみてもいいですし、k=4とおいて左辺と右辺が等しいか確認してみるといいでしょう。

＞範囲はk=0 から　n までの間です。
これも少しふざけていますね。
Σ((k(k-1)(k-2))/6
Σの式から、k=0～2では明らかに式がゼロですから
kの初期値は少なくても3以上でないといけないですし、
もしそうなら、最初からゼロならないように
Σの中の式を
((k(k-1)(k-2))/6でなくて
((k+3)(k+2)(k+1))/6
とすればk=0～　としても意味がありますね。
問題作成者がいい加減といえばいい加減ですね。

あなたの責任ではないですから、いい加減な問題でも、試験にでれば解答しないといけませんね。
とりあえず解答は
Σ[k=0～n] ((k(k-1)(k-2))/6
=Σ[k=3～n] ((k(k-1)(k-2))/6
=Σ[k=3～n] [((k+1)k(k-1)(k-2))/24 - (k(k-1)(k-2)(k-3))/24]
=(4*3*2*1)/24 - 0/24
+(5*4*3*2)/24 - (4*3*2*1)/24
+(6*5*4*3)/24 - (5*4*3*2)/24
…
+(n(n-1)(n-2)(n-3)/24 - ((n-1)(n-2)(n-3)(n-4))/24
+((n+1)n(n-1)(n-2))/24 - (n(n-1)(n-2)(n-3))/24
斜めに項が同じで±で消えていきますので以下の項だけが残ります。
このために2項の差に変形したわけですね。
=((n+1)n(n-1)(n-2))/24 - 0/24
=((n+1)n(n-1)(n-2))/24

問題集の問題や解答は正しくない場合もあります。
正しいか、間違っているか、自分で判断できるだけの余裕を持てるといいですね。
今回の問題や解答例の場合は
k=0～2とおいたり,k=4
とおけば簡単にチェックできますね。
特に問題集が初版の場合がミスがある場合が比較的多いかも知れません。
版を重ねるにつれミスが訂正されなくなっていきますね。
著者がちゃんとチェックすれば、ミスのある問題や解答例はないはずですがね。

お礼

ありがとうございます。
どう考えてもおかしいとは思うものの自分が正しいと言い切れ
ないあたりまだまだです。

回答No.3

kumipapa

皆さんに同じく・・・

K+1個から4個を取り出す組み合わせの数 (k+1)Ｃ4 は、特定の物を取り出して残りk個から3個を取り出す場合の数（kＣ3）と、それを取り出さずに残りk個から4個取り出す場合の数（kＣ4）との和ですから(k+1)Ｃ4 ＝ kＣ4 ＋ kＣ3。故に (k+1)Ｃ4 － kＣ4 ＝ kＣ3 、即ち
((k+1)k(k-1)(k-2))/24 - (k(k-1)(k-2)(k-3))/24 = (k(k-1)(k-2))/6
ですね。
ちなみに和の範囲がk=3,nならば、ΣkＣ3＝(n+1)Ｃ4＝(n+1)n(n-1)(n-2)/24 かな？ただ、それならば計算するまでもないし。やはり、和の範囲が気になりますね。

回答No.2

info22

#1さんの意見に同じ訂正箇所です。

＞((k+1)k(k-1)(k-2))/24 - ((k-1)(k-2)(k-3))/24 = (k(k-1)(k-2))/6
は
((k+1)k(k-1)(k-2))/24 - (k(k-1)(k-2)(k-3))/24 = (k(k-1)(k-2))/6
の間違いだと思います。
そうでないと答がうまく出てきません。
また、Σはk=○から□までの和の範囲が書いてありませんね。
ちゃんと書いて下さい。

補足で訂正と○□の部分を書いて下さい。

補足

質問の設定に不足があり申し訳ございませんでした範囲は
k=0 から　n までの間です。
演習問題の回答例中にある式は質問にあるように
なっており訂正部分はありません。
回答例のほうが間違っていると判断してよいですよね？

回答No.1

Aronse

((k+1)k(k-1)(k-2))/24 - (k(k-1)(k-2)(k-3))/24 = (k(k-1)(k-2))/6
こうじゃないですかね？