三角関数の置換積分

質問

sin(x),cos(x)の有理関数の不定積分を求める方法で、多くの微積のテキストでは、t=tan(x/2)として、置換積分する方法が紹介されています。
ですが、私にはちょっとこの方法は論理的に少し強引に感じられます。

テキストによると、上の置換で、sin(x)=2t/(1+t^2), cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)
dt/dx=(1+t^2)/2と表され、tの有理関数の不定積分に帰着させることが
必ずできると紹介されています。

ですが、t=tan(x/2)とおいてsin(x)などをtで表すということは、tan(x/2)が定義されているような x については可能ですが、例えば、x=πではsin(x)はtでは表されないはずです。
簡単な具体的な例をあげると、sin(x)を不定積分するとします。普通は直接積分するでしょうが、あえてこの方法で置換積分するとして、次の式が（多くのテキストの主張では）成り立ちます。

Integral(sin(x)dx) = Integral((2t/1+t^2) * 2/(1+t^2)dt)……[1]

右辺は、-(1-t^2)/(1+t^2)+C (Cは積分定数)の形で求まり、
(1-t^2)/(1+t^2) = cos(x)……[2] だったので、-cos(x)+C と不定積分が求まったかに見えます。
ところが、良く考えると、[1][2]の式はx=(2n-1)π,(n:整数)ではtが定義されないので、成り立ちません。tの式をあえてtan(2/x)で書いてみるとよくわかると思いますが、ところどころ不連続な関数（sin(x)を切ったもの）を積分し、不連続な関数（-cos(x)を切ったもの）が得られているだけです。しかも不連続ということは、各開区間で積分定数を独立に取れるので、厄介なことになります。

このあたりの議論を厳密にするにはどうすれば良いでしょうか。

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

じゃ、今度は回答。

初めは、高校で習うリーマン積分のレベルで考えたらどうなのか。
●●不定積分て何ですか。何に使いますか。計算問題に出てくるだけ。現実の問題では最終的にはこんなもん要らないんです。と開き直ってみましょう。
　確かに微分方程式を解いて、一般解が不定積分で表される。そういうことはあります。でも、結局境界値に合うように「積分定数」なるへんてこりんを調節しますね。ですから本質的には定積分
F(a,x) = integral {s=a～x} f(s) ds
があれば良い。ここでF(a,x)をxの関数だと考えて、aの方はどうでもいいやってんで、「積分定数」なるものに押しつけた。これが不定積分。不逞の積分です。逆に言えば、aを決めてやれば、積分定数など出てこない筈じゃないか。
積分定数というのが、要するに曲者である。

●そういうわけでして、
sin(x)=2t/(1+t^2), cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)
これをやったときにも、
t=1/x
を積分する場合でも、積分範囲の中に特異点(tが定義されない点)があったら、その前後をちょっと削って計算する。そして削る幅を→0にして、収束すればよし、おかしくなっちゃったらお手上げ（超関数論に行く）というのが正しい態度であろうかと思います。仰るとおりの意味で積分範囲が「不連続」です。

●この立場では、「収束すればよし」の場合、ホントの答じゃなくて収束値を書いちゃうんですね。だから等号の意味が違う。"="と書いてあっても「等しい」と「収束する」の違いがあります。
　「その収束値が、前後の値ときれいに繋がって微分可能である」という具合に行く場合、つまり関数として「連続」である場合、これはもう「等しい」と「収束する」は意地を張らずに同一視してしまった方が便利じゃないか。という訳です。たとえばフーリエ変換を勉強したら必ず出てくる
sinc(x) = (sin x)/x
という関数（シンク関数）があります。これ、x=0ではsinc(0)=1なんですよ。分母が0のくせに平気でこう扱う。もちろん x→+0でもx→-0でもsinc(x) →1に収束してくれて、しかもx=0で微分可能であるから、まあいいや、という事なんですね。

●じゃあ、
K(x) = integral {s=-∞～x} 1/(s^2) ds = (-1/x )
はどうなんだろ。x<0ならK(x)>0ですね。そりゃそうでしょう、被積分関数1/(s^2)はいつでも正ですもん。K(x)は正に決まってるじゃありませんか。
　ところが、x>0になったとたんにK(x) <0になります。被積分関数1/(s^2)はsによらず正なんですよ。それが何でK(x)<0になるんですか！！
　つまり、s=0のところで変なことが起こって、積分定数に相当する何かを勝手にいじっているに違いない。

●●そういうわけでリーマン積分から逸脱して、ちょっと超関数の世界を覗いてみましょう。
　或る無限小(凄く小さい正の値) ε>0 を考えて、
(1)　[1/(s^2) ]= もし|s|≧εなら 1/(s^2) 、もし |s|＜εなら Q/ε
という関数と考えます。（Qは未知数。）これはs=0のごく近辺以外では1/(s^2)と同じである関数です。そして、
S=integral{s=-∞～∞} [1/(s^2) ] ds = 0
とであることを要求して、Qを決めてみましょう。すると
S = integral{s=-∞～-ε} [1/(s^2) ] ds
　　＋integral{s=-ε～ε} [1/(s^2) ] ds
　　+integral{s=ε～∞} [1/(s^2) ] ds
S= integral{s=-∞～-ε} 1/(s^2) ds
　　＋integral{s=-ε～ε} Q/ε ds
　　+integral{s=ε～∞} 1/(s^2) ds
S= 1/ε ＋2Q +1/ε
S =0ですから、 2/ε + 2Q = 0　である。
ゆえにQ = -1/εである。つまり、
(1')　[1/(s^2) ]= もし|s|≧εなら 1/(s^2) 、もし |s|＜εなら -1/(ε^2)
は
S=integral{s=-∞～∞} [1/(s^2) ] ds = 0
を満たす。
　1/(s^2)の代わりにこの[1/(s^2) ]を使ってみますと、0<ε<x ならばどうなるか。
K(x) = integral {s=-∞～-ε} [1/(s^2) ] ds
　+ integral {s=-ε～ε} [1/(s^2) ] ds
　+ integral {s=ε～x} [1/(s^2) ] ds
K(x) = integral {s=-∞～-ε} 1/(s^2) ds
　+ integral {s=-ε～ε} (-1/(ε^2)) ds
　+ integral {s=ε～x} 1/(s^2) ds
K(x) = (1/ε) + (2ε/(ε^2)) + (-1/x+1/ε)
= (1/ε) + (-2/ε) + (-1/x+1/ε)
=-1/x
となる。みごとεは跡形もなく、そして、K(x)<0になってしまう。しかももとの公式通りですね。

●この [1/(s^2) ]というのが「普通の関数1/(s^2)を超関数(distribution, generalized function)として見たもの」なんです。s=0以外では必ず正の値を取っている筈の1/(s^2)であるのに、s=0の近辺無限小の幅(2ε)の所に-1/(ε^2)なんていう、つまり「無限大の二乗」というとてつもない巨大なマイナスの値がこっそり挟まっている。そのせいで、積分範囲がs=0を跨いだとたんに結果が負になってしまった。
こう考えないと辻褄が合わない。

このように特異点の所を「特異点じゃお手上げ」で済ませないためには、超関数の考え方が大変旨く行くんです。

★なおここで言う「無限小ε」は厳密に言えば、「0より大きいけれど、どんな正の実数より小さい。」つまり本当の数ではない。超限解析で始めて出てくるものですが、取りあえずは「うんと小さい」とだけ捉えておけば良いでしょう。

お礼

素晴らしいご回答に脱帽します。有難うございました。
不定積分を定積分で定義するんですね。そうか、それならうまくいきそうです。
私の中では不定積分と定積分は別々に定義してから、微積分学の基本定理で関係付けるというようなイメージを持っていたものですから。
定積分から理論構築すればスムーズに行きそうですね。siegmund先生（stomachman先生に倣って、おふたりのことを先生と呼ばせてください。）もそういうことをいいたかったのですね。
ウィットに富む名回答を楽しく読ませてもらっているファンです。
毎日、回答数が凄まじいですが、お体には十分気をつけてくださいませ。

もうちょっとゆっくり検討してから閉めさせて頂きます。