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三角関数の置換積分
stomachmanの回答
- stomachman
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直接の回答ではありませんが... 気分が悪いと仰るそのセンス、まことに健全です。 置換積分どころか F(x) = integral (x^(-n)) dx = (-1/(n+1))(x^(-n-1)) +C (n>0) --- (*) これからして既に「欺瞞」ですね。簡単に等号で結んでくれてるけどx=0の所はどうなるんじゃい。 ところが定積分をやってみるとこれは問題ない。x→0を計算しない限り変にならない。うまいこと出来てるもんです。で、ほんとにx=0の近辺を使いたくなると「広義積分」だの「コーシーの主値」だの、いろいろ怪しげなものが現れてくる。 こういうのを気にしないヒトはいいんです。公式を暗記するだけのヒトです。でも、気になると仰るringo2001さんて、エライです。 是非とも、いっそワンランク上を勉強しちゃいましょう。 ●超準解析学をちょこっとだけやってみてはいかがでしょう。「極限なしの微積分」というものの基本を軽く勉強しなおします。無限大や無限小を真っ向から取り扱えるので、イメージで攻めたい方には向いています。 並行して ●超関数論を少しやってみてはいかがでしょう。 上記(*)の式でnが偶数の場合、まともに扱うには(x^(-n))を超関数と見なす必要がある。 siegmund先生の御回答にあるとおり普通は「一箇所ぐらい変でも大丈夫」なんだけど、超関数になるとその一箇所が決定的だったりします。例えばデルタ関数δ(x)はx=0以外ではいつも0なのに、x＝-∞～∞の範囲で積分すると1になっちゃう。これも無限大や無限小を超準解析のセンスで取り扱えばどうって事はない代物です。 ●ルベーグ積分。確かに筋から言うとsiegmund先生の仰る通りルベーグ積分（「一箇所ぐらい変でも大丈夫」の根拠）から入るんでしょうけど、stomachman的にはこれはアトでも良いんじゃないかと思うんですよ。 超準解析では、無限小・無限大の正しい扱い方のルールさえ身につければよい、という観点からは基礎理論は重要ではない。パスして構いませんし、基礎理論に手を付けるととても難しいからめげます。 超関数については、最初はフーリエ変換と超関数の関係を見ながら勉強していくのが一番自然であると思います。基礎理論は初めはパスするのが良い。 ルベーグ積分論は基礎理論にミソがある。それで優先度ラストです。
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