確率の最大値

質問

こんにちは。高校数学Aの公式集中の公式とその解説です。

「確率がｎの式としてPnで与えられているとき、Pnの最大値を求めるには、（Pn＋1）/Pn　と１との大小を比べる。」

上記の解答公式に対する説明として
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ｆ(x)の最大値を調べるには微分法も考えられるが、ｎは自然数だから、隣りの項どうし、Pｎ+1とPnの大小を調べればよい。Pnは積や商の形が多いので、差よりも比をとって調べればよい。
　ｎ＜ｎ0で、（Pn＋1）/Pn＞1、ｎ≧ｎ0で、（Pn＋1）/Pn＜1ならば
　P1＜P2＜・・・＜P(n0-1)＜Pn0>P(n0+1)>・・・
となり、Pn0が最大である。
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↑この解説が理解できません。
　わかる方がいらしゃれば、説明していただけないでしょうか？お願いします。

[補足：この解答公式は、「サイコロを１５回振ると、1の目が□回出る確率が最大である。」という問題に適用できるようです。ー答：２]

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

＞　ｎ＜ｎ0で、（Pn＋1）/Pn＞1、ｎ≧ｎ0で、（Pn＋1）/Pn＜1ならば
＞　　P1＜P2＜・・・＜P(n0-1)＜Pn0>P(n0+1)>・・・
＞　となり、Pn0が最大である。
については、＃１さんが丁寧に解説されていますのでそちらを参照して頂くとして、具体的に、「サイコロを１５回振ると、1の目が□回出る確率が最大である。」という問題を解いてみれば理解しやすいかも。

サイコロを１５回振って、１の目がｎ回でる確率をＰn とすると、
Ｐn ＝　15Ｃn (5^(15-n))/(6^15)
で、Ｐnが最大となるnを求めたい。
そのために、Ｐnの増減をしらべたいのだけど、Ｐn+1 － Ｐn の符号を調べても良いし、Ｐn+1／Ｐn が１より大きいか小さいかを調べても良い。
で、まあ、物は試しで、Ｐn+1／Ｐn が１より大きいか小さいかを調べてみる。Ｐn+1／Ｐnを計算してみると、
Ｐn+1／Ｐn ＝　(１５－ｎ）／（５(ｎ＋１））
となるから
Ｐn+1／Ｐn　＞１　→　(１５－ｎ）／（５(ｎ＋１））＞１
を解くとｎ＜１０／６
ということで、
ｎ＝１のときはＰn+1／Ｐn　＞１　⇔ Ｐn ＜ Ｐn+1 ・・・（１）
ｎ≧２のときはＰn+1／Ｐn　＜１　⇔ Ｐn ＞ Ｐn+1 ・・・（２）
（Ｐn+1／Ｐn ＝１となる整数ｎは存在しない）
（１）から、Ｐ1＜Ｐ2
（２）から、Ｐ2＞Ｐ3、Ｐ3＞Ｐ4、・・・、Ｐ14＞Ｐ15（要は単調減少）
これらをつなげてＰ1＜Ｐ2，Ｐ2＞Ｐ3＞Ｐ4＞・・・＞Ｐ15
ってことで、最大となるのはＰ2で、１の目は２回出る確率が最大。
少しは具体的に理解できますか？

でも、このサイコロの問題の場合は、Ｐn+1－Ｐnもさほど複雑な式にはならないし、Ｐn+1／Ｐn、Ｐn+1－Ｐnのどちらでなきゃいけないという話でもないので、気が向いたほう（楽そうな方）で増減は調べればよいのでは。

補足

回答ありがとうございます。

＞で、まあ、物は試しで、Ｐn+1／Ｐn が１より大きいか小さいかを調＞べてみる。Ｐn+1／Ｐnを計算してみると、
＞Ｐn+1／Ｐn ＝　(１５－ｎ）／（５(ｎ＋１））

↑このＰn+1／Ｐn ＝　(１５－ｎ）／（５(ｎ＋１））がどうして成立するのかわかりません。
　再度説明をお願いできるとありがたいです。

回答No.3

kumipapa

＞　Ｐn+1／Ｐn ＝　(１５－ｎ）／（５(ｎ＋１））がどうして成立するのか

Ｐｎ+1 ＝　15Ｃ(n+1) ×　(５^(15-n-1))／(６^15)
Ｐn ＝　15Ｃn ×　(５^(15-n))/(６^15)
より、Ｐn+1／Ｐnを普通に計算してみてください。

ちなみに
nＣm ＝　n! ／（(n-m)! m!)
ですが、これぐらいは分かってるよね。

お礼

ありがとうございます。
Ｐn ＝　15Ｃn ×　(５^(15-n))/(６^15)　についてはANo.２中に表示していただいていましたね。

　丁寧な解説をありがとうございます。

回答No.1

proto

＞ｎ＜ｎ0で
＞（Pn＋1）/Pn＞1

nがn0より小さいときに
　　P[n+1]/P[n]>1
が成り立つとすると、(※ここまでは仮定です)
両辺にP[n]を掛けて
　　P[n+1]>P[n]

nがn0より小さければいつでも成り立つので
　　P[2]>P[1]
　　P[3]>P[2]
　　…
　　P[n0]>P[n0-1]
全部まとめて書くと
　　P[1]<P[2]<P[3]<…<P[n0-1]<P[n0]

こういう理論展開になってます。
ここまでで、
ｎ＜ｎ0で、（Pn＋1）/Pn＞1ならば、P[1]<P[2]<P[3]<…<P[n0-1]<P[n0]
というところです。

後半も同様にやります。
＞ｎ≧ｎ0で、（Pn＋1）/Pn＜1ならば
nがn0より大きいときに、P[n+1]/P[n]<1
が成り立つとすると、(※またここまでは仮定です)
両辺にP[n]を掛けて
　　P[n+1]<P[n]

nがn0より大きければいつでも成り立つので
　　P[n0+1]<P[n0]
　　P[n0+2]<P[n0+1]
　　…

まとめて書くと
　　P[n0]>P[n0+1]>P[n0+2]>…

前半と後半をさらに合わせて書くと公式の解説になります。

ここで言ってるのは
「n<n0より小さいときにP[n+1]/P[n]>1、n≧n0のときP[n+1]/P[n]<1」
という長い長い仮定が成り立つときの話です。
仮定の式をちょいといじくればn0のときP[n0]が最大であることがわかるよ。っていうお話しです。

お礼

回答ありがとうございます。

＞「n<n0より小さいときにP[n+1]/P[n]>1、n≧n0のときP[n+1]/P[n]　<1」
＞という長い長い仮定が成り立つときの話です。
＞仮定の式をちょいといじくればn0のときP[n0]が最大であることがわかるよ。

そうすると、「条件を数式で表示するとこういうことになる」　ということなのですね。

なんとなくわかったような気がします。