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ベクトルの問題(再質問)
省略して質問したため、非常に分かりにくくなってしまったので新しく書き直します。再度よろしくお願いいたします。 鋭角の∠Aを持つ三角形ABCがある(ほぼせい3角形)。Aから底辺までの垂直な距離を1とする。AB,ACの中点をそれぞれD,Eとする。AD,DE上にそれぞれ点S,Rをとる。ここで→AS=→y, →SR=→zとする。(このとき→AR=→y+→zですよね。) さらに、→y=t*→AB,→z=s*→ACより、→AR=(t*→AB)+(s*→AC)がいえる。このときt+s=1/2 t+s=1/2の理由を教えてください。勿論、中点なので垂直な距離が1/2になることは分かります。係数の和=1/2になる理由が分かりません。 よろしくお願いします。
- dandy_lion
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#3 です。 >AB,ACの中点をそれぞれD,Eとする。 以前の質問の後遺症で「AB,BCの中点をそれぞれD,Eとする」と思い込んでました。結論をミスしてましたので、一応の訂正。 <AR> は <AD> と <AE> の(一次)凸結合になっているから、 <AR> = k*<AD> + (1-k)*<AE> また前提から、 <AD> = (1/2)*<AB> <AE> = (1/2)*<AC> なので上式へ代入してみると、 <AR> = (k/2)*<AB> + {(1-k)/2}*<AC>
その他の回答 (3)
>鋭角の∠Aを持つ三角形ABCがある(ほぼせい3角形)。Aから底辺までの垂直な距離を1とする。AB,ACの中点をそれぞれD,Eとする。 >AD,DE上にそれぞれ点S,Rをとる。ここで→AS=→y, →SR=→zとする。(このとき→AR=→y+→zですよね。) >さらに、→y=t*→AB,→z=s*→ACより、→AR=(t*→AB)+(s*→AC)がいえる。このときt+s=1/2 題意にいくつか疑問があります。(ベクトルは、<AB> などと表記) ・「Aから底辺までの垂直な距離を1とする」は不要らしいです。 ・「<y>=t*<AB>」はいいのですが、「<z>=s*<AC>」が成立つとは限りません。 ・「<AR> = t*<AB> + s*<AC>」は良さそうなので、導出してみましょう。 <AR> は <AD> と <AE> の(一次)凸結合になっているから、 <AR> = k*<AD> + (1-k)*<AE> また前提から、 <AD> = (1/2)*<AB> <AE> = (1/2)*<AB> + (1/2)*<AC> なので上式へ代入してみると、 <AR> = (1/2)*<AB> + {(1-k)/2}*<AC> (試算// k=0 ならば <AR> = <AE> / k=1 ならば <AR> = <AD> ) これじゃ t+s=1-(k/2) になってしまい、問題の結論「t+s=1/2」と不一致。(k=1 の場合だけ一致)
- kumipapa
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まだ問題でおかしいところがあるように思いますが、まあ、よしにします。 ＤＥ上の点Ｒについて、とにかく →ＡＲ ＝ ｔ * →ＡＢ ＋ s * →ＡＣ ・・・（１） とかけるようなｔとｓがある、というところまではいいんですね。 では、→ＡＲを別の表し方をしてみましょう。 点Ｒは、ＤＥ上にありますから、 →ＡＲ ＝ (１－ｕ）* →ＡＤ ＋ ｕ* →ＡＥ ・・・（２） とかけますね。０＜ｕ＜１で、点Ｒが、ＤＥをｕ：（１－ｕ）に内分しているってことです。 次に、点Ｄと点Ｅは辺ＡＢ，ＡＣの中点ですから、→ＡＤ＝ 1/2 * →ＡＢ、→ＡＥ＝ 1/2 * →ＡＣですね。 これを（２）に入れると、 →ＡＲ ＝ (１－ｕ)/2 * →ＡＢ ＋ ｕ/2 * →ＡＣ ・・・（３） です。 で、この（３）を問題の式（１）と比べてみましょう。 （１）と（３）の左辺の→ＡＲは同じベクトルですから、（１）と（３）の右辺どうしも等しいはず。 ということで、 ｔ * →ＡＢ ＋ s * →ＡＣ ＝ (１－ｕ)/2 * →ＡＢ ＋ ｕ/2 * →ＡＣ です。 あとは、係数どうしを比べて ｔ＝（１－u）/2 ｓ＝u/2 ですから、 ｔ＋ｓ＝（１－ｕ）/2 + u/2 ＝ 1/2 です。 これで理解して頂けますか？
- 10ken16
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ＲがＤＥ上の点ですから、 ＡＲ＝jＡＤ＋iＡＥ（i+j=1） とおけることは分かりますか？ i=m/(m+n)、j=n(m+n)とおけば 分点の公式そのままです ここで、 ＡＲ＝tＡＢ＋sＡＣとおけば、 ＡＤ＝1/2 ＡＢであることから、 s=i/2、t=j/2 s+t＝(i+j)/2 従って、s+t＝1/2
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