青チャート 三角関数

質問

問、ｘの２次関数ｆ(ｘ)＝3ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ　が、任意の角θ(０°≦θ＜３６０°)に対して
ｆ(2sinθ)≧0、ｆ(3－cosθ)≦0　を満たす。
この時、2b＋ｃ＝＿であり、ｂのとり得る最大の値は＿。
下線部を二つを求めよ。

解答　2sinθ＝Pとおくと、－2≦P≦2において　
常に3P^2＋ｂP＋ｃ≧0・・(1)　　
　　　3－cosθ＝Qとおくと、2≦Q≦4において
常に3Q^2＋ｂQ＋ｃ≦0・・(2)
(1)、(2)でP＝Q＝２として　3・2^2＋ｂ・2＋ｃ＝０
ゆえに、2b＋ｃ＝－12・・(3)　　←ここはわかります。
また(2)でQ＝4として　　　3・4^2＋ｂ・4＋ｃ≦0　←ここ以降が？
ゆえに、b≦－18
またｂ＝－18とすると、(3)から　ｃ＝24
よってf(ｘ)＝3x^2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)
この時　－2≦x≦2⇒f(x)≧0
　　　　　2≦x≦4⇒f(x)≦0　を満たす
したがってｂのとり得る最大の値は　ｂ＝－18　終

どうしていきなりQに4を代入するのか、何かグラフでビジュアルに理解できないか。もしわかる人がいたら教えてください。お願いします。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

f(2sinθ)≧0 などと意味不明な条件にしていますが、結局

x の範囲 -2 ≦ x ≦ 2 で 正、2 ≦ x ≦ 4 で負ということですね。

そのような 2次関数は(x^2 の係数が正数のため)、x ≦ 2 の範囲で単調減少して、x = 2 でゼロとなり、「しばらく減少した後に」単調増加。

2 ≦ x ≦ 4 の間は負とのことなので、x = 4 で負であれば「 2 ≦ x ≦4 の間しばらく減少」ということ。

お礼

解の配置の問題ですね。ようやくわかりました。ありがとうございました。

補足

イメージできました。では、ｂの範囲は2ｂ＋ｃ＝－12より
ｂ＝－12－ｃ/2
これからｃが大⇒ｂは小
　　　　ｃが小⇒ｂは大　だからｃが小の時、つまり下に凸の２次関数のグラフでｘ＝４のときｂは最大になるということですか？

回答No.2

koko_u_

>ｃが小⇒ｂは大　だから(中略)ということですか？
ちがう。

題意を満たす条件として、f(2) = 0 かつ f(4) ≦ 0 が得られれば、あとは代入して計算するだけ。