limitについての質問です

質問

(1)lim(n→∞){1/n+n/(n^2+1)+n/(n^2+2)+...+n/(n^2+(n-1)^2)}
=lim(n→∞){n/(n^2+(1-1))+n/(n^2+(2-1)^2)+...+n/(n^2+(n-1)^2)}
=lim(n→∞)Σn/(n^2+(k-1)^2)
=lim(n→∞)Σn/(n^2{1+1/n^2×(k-1)^2}) (両辺に1/n^2をかける)
=lim(n→∞)Σ1/n×1/(1+(k-1)^2/n^2)
f(x)=1/(1+x^2)

(2)lim(n→∞)b^n/n!(ｂは実数)
=lim(n→∞)b/1×b/2×b/3×...×b/n
=lim(n→∞)b/(n-(n-1))×b/(n-(n-2))×b/(n-(n-3))×...×b/(n-(n-n))

指摘を受けてがんばって説いてみたのですが、両方ともそれぞれここで止まってしまいました。なるべく詳しい解説よろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

前回の回答は記録されていますでしょうか。
　それがあれば話が早いのですが、私も手元に残していないので、改めて書くことにします。（せめて補足かお礼を書いてくださればメールで記録が残るから便利なのですが。）

　先ず簡単な(２)の方から。

(２)　A(n)＝b^n/n! と置き、A(n+1)とA(n)との比の絶対値について考えて見ますと、
　　|A(n+1)/A(n)|
　＝|b^(n+1)/(n+1)! / (b^n/n!) |
　＝|b/(n+1)|
と書けます。
　ここでｎが増加に伴う|A(n+1)/A(n)|の変化を見てみます。
　ｎ＜|b|－１ の間は |A(n+1)/A(n)|＞１ですので、|A(n+1)|は|A(n)|より大きくなり発散の傾向を見せますが、ｎ＞|b|－１ となると状況が反転し、A(n+1)|は|A(n)|より小さくなり収束の傾向を見せます。実際、ｎ→∞で、
　　|A(n+1)/A(n)|＝|b/(n+1)|→０　　（ｎ→∞）
となりますので、ｎ→∞ で |A(n+1)| →０になります。
　このことから、
　　lim(n→∞)A(n)＝lim(n→∞)b^n/n＝０
ということが分かります。

(１)はΣの式にしてから少し違うようです。
＞=lim(n→∞){n/(n^2+(1-1))+n/(n^2+(2-1)^2)+...+n/(n^2+(n-1)^2)}
　＝lim(n→∞) [k=0→n-1]Σn/(n^2+k^2)
　＝lim(n→∞) (1/n)[k=0→n-1]Σ1/{1+(k/n)^2}

　あとは、この式のlimの中身を∫f(x)dxを使ったはさみうちで
　　[x=0→1-1/n]∫f(x)dx ≦ (1/n)[k=0→n-1]Σ1/{1+(k/n)^2} ≦ [x=1/n→1]∫f(x)dx +1/n
となりますので、この右辺と左辺の積分を実行してｎ→∞とすると、両方とも π/4 に収束しますので、はさみうちにされた (1/n)[k=0→n-1]Σ1/{1+(k/n)^2} もｎ→∞で π/4 に収束することになります。
　したがって、
　　lim(n→∞) (1/n)[k=0→n-1]Σ1/{1+(k/n)^2}
　＝π/4
と無限級数を得ることができます。
　（積分は自分でやってみてください。ｘ＝tanθとおけば簡単に実行できます。）

お礼

ありがとうございます。参考にして解いてみます。
前回の質問は、課題をそのまま乗せていたので削除されてしまい、手元には残っていません。
ルール違反、申し訳ありませんでした。
次回からは気をつけます。
本当にありがとうございました。