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分数の数列の問題
以下の問題の求め方が分かる方はいますか？ 「次の数列において、3/7は何番目に表れるか求めよ。 1/1、2/1、1/2、3/1、2/2、1/3、4/1、3/2、2/3 ・・・」 こちらの答えは「43番目」とあるのですが、解き方がのっていないのでどうこの答えを求めればよいのか分かりません。 この数列がどういった規則性があるのかというのも自分ではよく分かりません。参考書などを調べてみても、分数の数列に関することは少しのっていたのですが、この問題とは少し違うタイプのものだったので、自力では解法が分かりませんでした。 どなたか分かる方がいたら教えていただけませんでしょうか。
- gousho
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- 数学・算数
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第Ｎ群の、分母と分子の和 → 和 と書きます。 第Ｎ群に含まれる項数→ 個 と書きます。 ｜(1/1)｜(2/1)(1/2)｜(3/1)(2/2)(1/3)｜(4/1)(3/2)(2/3)(1/4)｜・・・ 第１群 第２群 第３群 第４群 1個 ２個 ３個 ４個 和は２ 和は３ 和は４ 和は５ （3/7）の、分母と分子の和は １０ （3/7）は、第９群にある。 第Ｎ群の最終項は、（１＋２＋・・・＋Ｎ）番目＝Ｎ（Ｎ＋１）／２番目 第９群の最終項は、（９＊１０）／２＝４５番目 第８群の最終項は、（８＊９）／２＝３６番目 ｜(9/1)、(8/2)、(7/3)、(6/4)、(5/5)、(4/6)、(3/7)、(2/8)、(1/9)｜・・・ ３７、 ３８、 ３９、 ４０、 ４１、 ４２、 ４３、 ４４、 ４５、
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- zk43
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1/1 2/1,1/2 3/1,2/2,1/3 4/1,3/2,2/3,1/4 ・・・ と並べるとわかりやすいと思います。 上からｎ段目のところは、 n/1,(n-1)/2,(n-2)/3,…,1/n となっています。（分子はnから1ずつ減る、分母は1から1ずつ増える） これから、ｎ段目のところの項はどれも分子と分母を足すとn+1に なっています。 3/7は分子と分母を足すと10なので、9段目にあることが分かります。 9段目は、 9/1,8/2,7/3,6/4,5/5,4/6,3/7,2/8,1/9となっていて、3/7はこの段の7 番目に現れます。 n段目にはn個の項があるので、8段目までに、1+2+3+4+5+6+7+8=36個の 項があります。 よって、3/7は36+7=43項目に現れます。
- someday555
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質問にある９項を見る限り『分子と分母を加えて、２、３、４、５…になる分数を分母が１から順に並べていく』数列に見受けられます。 つまり、 分子と分母を足すと１…１＋０と０＋１で１／０と０／１ですが、０はのぞくのでしょう。 分子と分母を足すと２…１＋１と２＋０と０＋２で１／１と２／０と０／２ですが１の時と同じ理由で１／１のみ 分子と分母を足すと３…１＋２と２＋１と３＋０と０＋３です、がこれも同じ理由で１／２と２／１だけで順で言えば２／１と１／２ 分子と分母を足すと４…１＋３と２＋２と３＋１と４＋０と０＋４ですが、これも同じ理由で１／３と２／２と３／１で順から言えば３／１と２／２と１／３ とやっていけばわかるはずです。 分子と分母を足すと１になるのは０個、 分子と分母を足すと２になるのは１個、 分子と分母を足すと３になるのは２個、 分子と分母を足すと４になるのは３個、 分子と分母を足すと５になるのは４個、 … … 分子と分母を足すと９になるのは８個、 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーここまでで全部で０＋１＋２＋３＋…８＝３６個です。 質問の３／７は分子と分母を足すと１０なので、この分子と分母を足すと１０になるものを順に並べると、 ９／１、８／２、７／３、６／４、５／５、４／６、３／７、…となり７番めに表れますから、結局始めから数えれば、 ３６＋７＝４３になって４３番めとなります。
- t-yamada_2
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分子 1→2・1→3・2・1→4・3・2・1→5・4・3・2・1→6・5・4・3・2・1というようにブロック部分の「始まる数字」が1つずつ増えていきます。 分母 1→1・2→1・2・3→1・2・3・4→1・2・3・4・5→1・2・3・4・5・6というようにブロック部分の「終わる数字」が１つずつ増えて行きます。 そうすると43番目の分子に３、分母に７がきます。
- koroyan
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分子 1,2,1,3,2,1,4,3,2… 分母 1,1,2,1,2,3,1,2,3 分子は１、２→１、３→２→１… 分母は１、１→２、１→２→３…
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お礼
なるほど、そういった法則があったのですね。詳しい説明、ありがとうございました。