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畳み込み積分の導出
時間域tで考えてください。 ∫(0→t) sin2πfc(t-τ) * sin2πfcτ dτ 『信号処理』の授業にあった以上のような2つのサイン波の畳み込み積分についてなのですが、この積分を解くと 1/2[tcos2πfct-sin2πfct/2πfc] とだけあり、その導出過程がわかりません。 1/2があるので積和の公式を使って、そこからの導出を試みたのですが、考えても考えてもこの答えにたどり着けません；； ちなみにこの式の理解って、sin2πfcτという波形とsin2πfcτが時間反転したsin2πfc(-τ)という波形が、時刻0～tの平行移動で畳み込み演算されるというイメージでいいのでしょうか？ 正直、この手の分野の理解に自信がありません。 どうか良い知恵・アドバイスをよろしくお願いいたします。
- mathrm21
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和積を使うのはいいのですが、書かれた答えの符号が逆になっていませんか？ ∫(0→t) sin2πfc(t-τ) * sin2πfcτ dτ ＝-(1/2) ∫(0→t) [cos(2πfct) - cos{2πfc(t-2τ)}] dτ ＝-(t/2)cos(2πfct) +(1/2)∫(0→t) cos{2πfc(t-2τ)} dτ ＝(-t/2)cos(2πfct) +(1/2)[sin{2πfc(t-2τ)} /2πfc(-2)](0→t) ＝(-t/2)cos(2πfct) -{1/(8πfc)}{ sin(-2πfct)-sin(2πfct) } ＝(-t/2)cos(2πfct) +{1/(4πfc)}sin(2πfct) ＝(-1/2)[ t・cos(2πfct) -{1/(2πfc)}sin(2πfct) ]
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- koko_u_
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>1/2があるので積和の公式を使って、そこからの導出を試みたのですが sin 2πfc(t-τ) * sin 2πfcτ = (1/2)(cos 2πfct - cos 2πfc(t-2τ)) だよね。前半は τが消えてるから、そのまま ∫_0^t dτ するだけ、 後半は cos の積分だけど。。。
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わざわざご解答、ありがとうございました
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お礼
ご返答、ありがとうございます。 確かに符号が逆でした。導出過程も参考URLのお陰で理解できました。感謝いたします。