「正多面体スポンジ」の性質は？

質問

初めて質問します。数学は高校（文系）のレベルです。
中学生のとき一松信先生の『正多面体を解く』を読んで興味を持つようになりました。

すべての頂点に同じ形に正ｐ角形の頂点がｑ個集まるように並べると、
(1) (p,q)=(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3)
のとき、ピタゴラスの正多角形になり、
(2) (p,q)=(4,4),(3,6),(6,3)
のとき、アルキメデスの平面充填形になるわけですが、もっとｐとｑの値を大きくして
(3) (p,q)=(4,6),(6,4),(6,6)...
などのとき、スポンジ状の立体ができあがります。この立体はどういうものでしょうか。
（１）が球面、（２）が平面になることから類推すると、（３）は双曲面的な性質を
持っていそうなのですが、うまく数式化できません。

また、二次曲線が円錐曲線であるように、これらの立体も何らかの形の切片で表せる
ものなのでしょうか。

回答No.6

stomachman · ベストアンサー

お手伝いできそうなポイントだけ。

> 基本ユニット
これを繋ぐということは「空間がトーラスである」という事と同じです。

　２次元トーラスの展開図は、ただの正方形です。ゴムで出来ていると考えてみて、上辺と下辺を貼り合わせると筒になる。筒を円形に丸めて筒の口同士を貼り合わせるとドーナツが出来ます。これは、有限の四角い面の、辺と下辺を同一視し、左辺と右辺を同一視したものに他なりません。別の表現をすると、正方形の中から移動して、上辺を突き抜けると下辺に出てくる。右辺を突き抜けると左辺から、また元の正方形の中に戻ってきてしまう。

　３次元トーラスの展開図は、ただの立方体です。むぎゅと曲げて、上面と下面を貼り合わせると筒になる。丸めて筒の口同士（左面と右面）を貼り合わせるとドーナツが出来ます。さらに（４次元空間に行かないとできませんが）立方体の前面と後面を貼り合わせて３次元トーラスになります。
　別の表現をすると、立方体の内側から天井を突き抜けると床に出てくる。右の壁を突き抜けると左の壁から、奥の壁を突き抜けると手前の壁から、また元の立方体の中に戻ってきてしまう。

　従って、図形をたどっていくと基本ユニットが無限に連なっているように見えるのは、３次元トーラスをぐるぐる回っているから、とも解釈できる訳です。

　この基本ユニットの中に入る多面体が、もし３回鏡像対称であれば、基本ユニットの立方体の６つの面の内側を鏡張りにしたところをご想像下さい。合わせ鏡に映る無限個の基本ユニットの連なりは、もとの無限個の面を持つ多面体と同じになります。

お礼

お礼が遅くなりました。ありがとうございます。
「正多面体スポンジ」がトーラスの概念と密接であることがよく分かりました。
この辺り、勉強してみようと思います。

お礼ついでに補足しますと、私の書いた「基本ユニット」は、
(p,q)=(4,6),(6,4)の場合
　( x , y , z ) = ( u-v , uv , (1-u)(1-v) ) , 0<=u<=1 , 0<=v<=1
(p,q)=(6,6)の場合
　( x , y , z ) = ( u , v , uv ) , -1<=u<=1 , -1<=v<=1
で表される（と思われる）鞍型を指していて、stomachmanさんのおっしゃる
基本ユニットの1/24とか、もっと細かく区切った一部分になりますね。
これが数式的にうまく「接着」できないんですよ。(^^;
どこかで間違えてるのでしょうか。

懲りずにまた考えてみます。

補足

遅くなりましたが改めてお礼の上、当スレッド閉鎖します。
他のところでもお世話になるかと思いますが、よろしくお願いします。
ありがとうございました。

回答No.8

oodaiko

大変遅くなりましたがやはりそうでした。「非ユークリッド幾何学の世界」に書いてありました。
「ユークリッド空間において曲率が負の一定値をとり、かついたるところ滑らかな
曲面は存在しない」という事はヒルベルトが証明したそうです。

擬球という「曲率が負の一定値をとる」曲面はたしかに存在するのですがこれは
「滑らか」でない（つまり微分できない）部分があり、曲率とは微分で定義されるものなので
擬球はその部分で曲率が定義できないのです。
擬球はz-x平面上に描いたトラクトリックスと言う曲線をz軸に沿って回転させた回転体ですが
z=0の所で接線がx軸と平行になる（すなわち微分係数が∞になる）のでそれ以上延長できず
z<0の範囲ではz>0の部分と同じものを逆向きにしてつなぎあわせたような構造になります。
従ってz=0の部分で微分不可能になります。（z軸を中心とするラッパを口の部分で２つ
くっつけたような形です）
そのほかにトラクトリックスをz軸を中心とする螺旋上で回転させたもの（Diniの曲面というそうですが）
も曲率が負の一定値をとる曲面だそうですがこれも「縁」の部分で微分不可能になります。
（このサイトにはDiniの曲面の図が載っています）
http://www.u-gakugei.ac.jp/~nobuko/97seminar/98.html

参照ＵＲＬには双曲的非ユークリッド幾何関連の画像がたくさんあります。

参考URL：

http://www1.kcn.ne.jp/~iittoo/japanese.htm

お礼

ありがとうございます。推薦いただいている書籍が入手できず、まだ読んでいませんが、「正多面体スポンジ」は私の求めている曲面ではなさそうだということですね。

それにしてもいったいどういう形なのでしょうか。(^^;　＞「正多面体スポンジ」

ご紹介のＵＲＩもおもしろそうです。本と併せてよく読んでみます。

補足

ご紹介いただいたブルーバックス、面白かったです。ヒルベルトの証明については触れられていなかったのが残念でしたが。
遅くなりましたが改めてお礼の上、当スレッド閉鎖します。
他のところでもお世話になるかと思いますが、よろしくお願いします。
ありがとうございました。

回答No.7

oodaiko

>いたるところ同じ負の曲率を持つ一様な曲面は、ユークリッド幾何では存在しない
たしかそういう定理があったと思います。
「非ユークリッド幾何学の世界」／寺阪 英孝／講談社ブルーバックス
に書いてあったような…
ちょっと調べてみますのでまだしばらくスレッドを開けておいて下さい。

因みに非ユークリッド幾何に興味をお持ちなら上述の本はお勧めです。
基本的な予備知識は高校数学程度で読める上に、数学的にもきちんと書かれていて
ある程度の内容まで（球面上に非ユークリッド幾何のモデルを作り
そこで非ユークリッド幾何の主要な結果、例えば三角形の内角の和が１８０度に
ならないことなどを）証明しています。baifuさんくらいの数学的バックグラウンド
があれば十分読みこなせると思います。

お礼

ありがとうございます。お勧めいただいた本を探してみたいと思います。

「存在しない」という定理があるのならば、「正多面体スポンジ」がどういう
位置付けになるのかを検討してみます。

oodaikoさんやstomachmanさんなど、詳しい方のご意見が伺えるというのは、
私にとってものすごく革命的なことで（大げさ？（笑））、改めてここの
ありがたみをかみ締めております。

普通に暮らしていて、こういった相談って、「で、知ってどうするの？」と
言われてしまうと実も蓋もない類のものなので。(^^;;;

回答No.5

stomachman

しゃしゃり出ておいて何ですけど、勉強になります。
　ご質問がさっぱり分かってなかったstomachmanです。実は http://anusf.anu.edu.au/anusf_visualization/viz_showcase/stephen_hyde/embed/ がやっと繋がりまして、それで話も繋がりました。
　仰ってる対称性はやはり多面体のそれであって、連続的な対称性ではない。しかも面の数は無限個です。
　でも上記HPの多面体に限って言えば、３次元のトーラス空間中の多面体として見れば有限の面を持つ多面体になっています。つまり（ご承知でしょうけど）、立方体で繰り返しの単位ひとつを囲んでやって、立方体の天井は床に繋がっている、右の面は左の面に、手前の面は奥の面につながっている、と考えれば、この立方体は３次元のトーラス（４次元空間にドーナツ型として埋め込める）の展開図であり、その中に含まれる面の数が、多面体の面の数です。なお「しわくちゃ」に関しては「整然としわくちゃ」なんです。だって、上記HPの多面体の乗る曲面には明らかに「特別な方向」というものがあるでしょう？立方体の軸がその方向です。球面のように「どっちを向いても同じ」という訳には行かない。でも、３次元トーラス空間として見れば、しわくちゃではない。

　で、このような多面体一般について、「頂点が乗っている曲面は何か」ですって？いやー分かりません。
　何種類あって、どのように分類されるのか、そこから勉強しなくちゃいけません。（それに、確か比較的最近になって新しいクラス（トーラスではない）が発見された、ような気がします。）もちろん「その曲面は曲率が一定」に類する何か適当な条件は必要です。この条件を付けなければ、頂点さえ通ればどんな曲面でも構わない事になってしまって、全然面白くないですね。

　いずれにせよ、回答としてはお手上げ。ごめんなさい。でも面白かったです。

お礼

stomachmanさんに「お手上げ」と言われてしまうほど厄介な質問だったのですね。
他の方からのアドバイスがないので、質問が悪かったのだろうなぁと思っています。お付き合いいただいてありがとうございます。

> この立方体は３次元のトーラス（４次元空間にドーナツ型として埋め込める）の展開図であり、
> 確か比較的最近になって新しいクラス（トーラスではない）が発見された、ような気がします。

この辺りは不勉強で分からないところですが、興味深いです。今度調べてみます。

自分で考えたところまでで言いますと、例えば(p,q)=(4,6),(6,4)だと、(x,y,z)=(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,0,1)で囲まれた領域が基本ユニットになっていて、これは四角形を対角線で鞍型に変形した形のようです。(p,q)=(6,6)だと(x,y,z)=(1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(1,-1,-1)が基本ユニットみたいです。これで式を作ったのですが、ユニットを結合するとどうもエレガントではないので、ご相談に伺ったのでした。

もう少しこのスレッドは終了せずにおいておこうと思います。
stomachmanさん、他のところでもご縁がありましたらよろしくご指導ください。m(..)m

回答No.4

stomachman

補足を拝見しました。
最初のご質問で
> (2) (p,q)=(4,4),(3,6),(6,3) のとき、アルキメデスの平面充填形になる
とあったので、非ユークリッド平面に限定して話をしていましたが、早とちりだったようです。平面に限らなければいろいろあり得ますね。たとえばトーラスは(2)のタイルで埋め尽くせます。トーラスを３次元空間に（延ばしたり縮めたりして）埋め込むとドーナツ型の表面になります。
　ご紹介戴いたURLの曲面は、なるほど「スポンジ」と仰るのはこれだったのかとようやく納得しました。これは多分至る所一定の負の曲率を持つ多様体を３次元空間に埋め込んだものなのだと思いますが、平面とは違います。点Aから出発して点Aに戻る閉路P,Qのうち、Pを連続的に変形してQに一致させることができないような、そういう本質的に異なる閉路P,Qが存在するからです。つまりトポロジー的に平面と同相ではない、別の種類の曲面です。（トーラスでも複数の本質的に異なる経路がありますね。）

> 至るところ同じ負の曲率を持つ一様な曲面は、ユークリッド幾何では存在しない。……（１）
　「一様な曲面」の意味が問題です。これまでのお話ですと、至るところ同じ負の曲率を持つ曲面を３次元ユークリッド空間に埋め込んだときに（イ）「延ばしたり縮めたりしわくちゃにせず、すなわち『３次元空間中の曲面上のどの点においても、どっちを見てもその周囲が同じに見える』という意味での対称性をもつ埋め込み方があるか」という意味（曲率正の平面の場合、球面がこれです。）ではなく、むしろ（ご紹介のURLのように）（ロ）「『３次元空間中の曲面上の特定の点において、有限個の対称軸がある』という意味での対称性をもつ埋め込み方があるか」あるいは（ハ）「『３次元空間中の曲面としての曲率が至るところ一定である』ような埋め込み方があるか」ということに注目していらっしゃるように思われます。（ロ）（ハ）の意味でなら出来る（曲面の種類にもよるかも知れません）、（イ）の意味でならできない、と思います。ご紹介のURLの埋め込みも（イ）の意味では対称ではなく、しわくちゃではありませんか？
　「（イ）の意味でならできない」という事の厳密な証明は分かりません。その曲面の性質を調べる上では重要でないのでこういう観点ではあまり考えたことがない、というのが正直なところです。

> これらの図形（スポンジ形）の曲率は
至る所一定の曲率を持つ、というのなら曲率の符号だけが問題ですから、曲率の数値は問題ではありません（相似変換すれば変わってしまいます。）
曲率が一定でない場合には、３次元空間に埋め込む時にゆがめてしまうので、埋め込まれた図形だけではもとの曲面での曲率は分からないですね。

補足

いろいろな示唆をいただき、大変勉強になります。「スポンジ」感（？）がユークリッド幾何３次元空間的に共有できてよかったです。(^^)　最初にいただいたご回答の「お礼」には、私が参照した他のＵＲＩも掲載してまして、こちらをご覧いただければ、私があくまで「正多面体」の延長として質問したことをお察しいただけるかと思います。

ここで改めて質問したい点を以下に整理します。（ｐ，ｑの定義は省略）
－－－－－－－－－－
３次元空間（ユークリッド幾何）内で、(p-2)(q-2)>4となる立体が存在し（模型でも作れる）、この立体は正多面体のもろもろの性質と矛盾しない（凸ではないが）ものである。
(p-2)(q-2)<4のとき正多面体の頂点は球面にのり、(p-2)(q-2)=4のとき「正多面体（平面充填形）」の頂点は平面にのるが、上記の「正多面体（？）」の頂点がのる曲面は、どのようなものなのか。エレガントな数式で表されるものか。
－－－－－－－－－－
質問意図としては上記のような内容で、高校数学（文系）の範囲だと思っています。ですので、対象性、トーラス、非ユークリッド幾何、といった高度の概念は、とりあえず脇に置いておければといいなと思います。（でも派生して勉強できるのはうれしいです）

> 至る所一定の曲率を持つ、というのなら曲率の符号だけが問題ですから、曲率の数値は問題ではありません（相似変換すれば変わってしまいます。）

そうですね。で、曲率が正の一定値をとるのが球面（至るところ滑らかに凸）だとすると、この「正多面体スポンジ」面は「至るところ滑らかに鞍型」のようなので、これはもしかすると曲率が負の一定値をとっているのかも、と考えた次第です。

> ご紹介のURLの埋め込みも（イ）の意味では対称ではなく、しわくちゃではありませんか？
> 曲率が一定でない場合には、３次元空間に埋め込む時にゆがめてしまうので、

この点ですが、私の認識では、「正多面体スポンジ」は正多角形が空間に一様に整然と並んでいるというイメージで、「しわくちゃ」「ゆがめて」の感じが私にはうまく共有できていないみたいです。

回答No.3

stomachman

至る所同じ正の曲率を持つ平面を、３次元ユークリッド空間に埋め込めば球。これは全体を見ても、なんだか旨く対称性を保ってくれてます。しかし、至る所同じ負の曲率を持つ平面を延ばしたり縮めたりせず、しわくちゃにもしないで３次元ユークリッド空間に埋め込むことは出来ない。曲率正と負とは、ここの所が本質的に違うのだろうか？そういう話をします。

●人類が「大地が実は球形だ」と気が付いたのはそんなに大昔の事じゃありません。つまり、非常に小さい正の曲率を持った非ユークリッド平面は、部分的に見れば曲率０の平面と同じです。平面の曲率が大きくなれば、視線をもっと近視眼的にして、ゾウリムシの目で見る。そうすればやっぱり曲率０みたいに見えます。確かに、遙か遠くを望むと、空間の歪みが分かるんですが、何処まで歩いても歪み方は同じである。どこが歪みの中心ということもない。

・同じように、負の曲率を持つ面も、部分的に見れば曲率０と同じです。観察したい場所に足を運んで、その周りだけを見渡せば、他の場所と何ら変わりのない曲率０の平面に見える。確かに、遙か遠くを望むと、空間の歪みが分かるんですが、何処まで歩いても歪み方は同じである。どこが歪みの中心ということもない。

●このように「どこから見ても同じように見える」ということこそが対称性の本質です。移動してみても（並進対称性）、回れ右してみても（回転対称性）同じように見える。
　この事を、「近視眼的に局所ユークリッド座標系をいつもシフト」することによって得られる「動的な対称性」というかなり曖昧な表現で申し上げ痰ですが、伝わるわけないか。

●結論めいた事を言えば：非ユークリッド平面において、曲率が正の時の対称性は３次元空間における（別の種類の）対称性と旨く符合してしまった（アナロジーが成り立つ）ためにかえって誤解してしまう。負の曲率の場合にも....と期待してしまうんですが、そうは行かない。
　そうではなくて、曲率が正でも０でも負でも「局所的にみれば曲率０の平面みたいであり、遠くは歪んでおり、そして、平面上のどの点で観察しても、これらの状況は変化しない。」これが真の意味での対称性だったんですね。
　サッカーボールなどを眺めながら、そういう視点で対称性を確認してみてはいかがでしょうか。

★ちなみに「どこでも曲率が同じ」とは限らないような平面（多様体）の場合にも、同様にして局所的には平面と見なすことが出来ます。でも少し離れたところを見渡すと微妙に歪んでいる。このような、空間の微分的な性質をつなぎ合わせていくことで全体の性質に至り、空間全体のマクロな繋がり具合を分類するのが「微分幾何学」「位相幾何学」という訳です。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。「動的な対象性」の意味が分かりました。

> しかし、至る所同じ負の曲率を持つ平面を延ばしたり縮めたりせず、しわくちゃにもしないで３次元ユークリッド空間に埋め込むことは出来ない。
> 負の曲率の場合にも....と期待してしまうんですが、そうは行かない。

これは自明なのでしょうか。正しいなら、以下のようになるわけですね。
至るところ同じ負の曲率を持つ一様な曲面は、ユークリッド幾何では存在しない。……（１）
よってもって
http://anusf.anu.edu.au/anusf_visualization/viz_showcase/stephen_hyde/embed/
にあるような図形も、至るところ同じ負の曲率を持つ曲面ではあり得ない。

（１）の証明はどのようになるのでしょうか。もし高度な知識が必要なのであれば、
少し解説いただけないでしょうか。
さらに、これらの図形（スポンジ形）の曲率はどのように算出できるのでしょうか。

p.s.初めて回答をいただいたstomachmanさんが、多方面の知識をお持ちの方なのだと、
　　過去の質問や回答を拝見して遅ればせながら得心しました。
　　今後ともよろしくお願いします。

回答No.2

stomachman

初学者の方かと思いまして。どうも失礼しました。推測ですが「スポンジ」とは「タイルがスポンジで出来ていて伸縮自在」というほどの意味でしょうか。

> 負の曲率を持つ一様な曲面として、正の曲率を持つ球面並みに扱える

正の曲率の場合とよく対応していますが、ユークリッド空間に入れると局所的な話でないと対称性が悪いですよね。
　確か神戸だったと思いますが、鏡面の大きな球の彫刻（？）を見たことがある。そこに写る世界は、つまり世界全部（球の蔭に隠れる部分を除く）の縮図の筈ですね。確かに特異点が出来てしまっているけれど、球の周りを歩くと、歪みの一番少ない部分にいつも自分の顔が映っている。負の曲率の空間も、こういう動的な対称性として捉えています。つまり近視眼的に局所ユークリッド座標系をいつもシフトしながら見ていけば、さほど変じゃないですね。

　回答になってませんね...すいません。

補足

> 推測ですが「スポンジ」とは「タイルがスポンジで出来ていて伸縮自在」というほどの意味でしょうか。

私も推測ですが(^^;、「（ひとつながりの面だけれど）空間をスカスカに覆っている」といったところを指してるのだと思います。＞スポンジ
一般的な語ではないようですので、使わない方がよかったみたいですね。

> ユークリッド空間に入れると局所的な話でないと対称性が悪いですよね。

この部分が分かりませんでした。すみません、初学者なのは確かにそのとおりなんです。(^^;;;

> 負の曲率の空間も、こういう動的な対称性として捉えています。

えっと、円の内部に投射した双曲線幾何「平面」が、中央から周辺にいくに従って歪むように、非ユークリッド幾何の対象性をユークリッド幾何空間内で捕らえることは（静的には）難しい、焦点を当てた部分にのみ動的に対称性が現れる、ということでしょうか。
私としては、(p,q)=(4,6),(6,4),(6,6)などは（球ほどではないにしても）対象性の高い形だと思うのですが、もし曲率が一様でないなら私の仮定は幻想なので、「ここが違う」とご教示いただけるとうれしいです。

（たまたますぐにご回答を拝見できましたので書き込んでしまいました。即レスでなくても結構です。ちょっと恐縮してしまいました。ありがとうございます）

回答No.1

stomachman

スポンジ状って、よく分からないですが...
　(p,q)=(4,6)なんてユークリッド空間においては作れないでしょう。これは非ユークリッド空間の話ですネ。
　この考え方で行くと、(p,q)=(3,3)などは正の曲率を持つ非ユークリッド的平面（球面じゃない！）における平面充填（球面幾何）ですし、(p,q)=(4,4)は曲率が０の非ユークリッド平面における平面充填（ユークリッド幾何）、(p,q)=(4,6)は負の曲率を持つ非ユークリッド平面における平面充填（双曲線幾何）ということになる。この話でしょうね。
　仰るとおり、むりやり３次元空間に双曲線幾何の平面を持ち込んだら、馬の鞍型にでもしないと入りません。この平面では、「与えられた直線と平行で、かつある一つの点を通るような直線」は何本でもひけます。円を描くとその円周は2πrより長いですし、三角形の内角の和は１８０°未満です。
　このようなへんてこな空間のイメージを（文系的に）最も深く理解できるのは、おそらくエッシャーの版画（「円の極限I,II,III」）でしょう。これらは射影幾何学という方法を使って、双曲線幾何学の平面を普通の平面に引き写したものです。エルンスト「エッシャーの宇宙」(朝日新聞社)に、少しですけど解説が載っています。
　きちんと学んでみたいということであれば、大きい本屋で自分好みの非ユークリッド幾何学の入門書を探すのがよいです。
　最後の質問に関しては、いずれも立体図形ではなく、ホントはその世界における「平面」なんです。

お礼

早速の回答ありがとうございます。

(p,q)=(4,6),(6,4),(6,6)...ですが、ユークリッド空間に（もちろん凸ではないですが）一応「一様な」形ができます。正多面体の空間充填と近い気もします。
http://www.superliminal.com/geometry/infinite/infinite.htm
http://www.physics.orst.edu/~bulatov/polyhedra/infinite/
http://anusf.anu.edu.au/anusf_visualization/viz_showcase/stephen_hyde/embed/
これらの形をさして「スポンジ」と書いてある書籍を読んだ憶えがあったもので。（書籍名失念）

ご指摘のように、私の質問は非ユークリッド幾何の「平面」をユークリッド幾何の空間に持ち込むことです。言い方を変えて、これら「スポンジ」の頂点（や面・辺の中点）がのった曲面は、負の曲率を持つ一様な曲面として、正の曲率を持つ球面並みに扱えるものなのかどうか、という質問ではいかがでしょうか。

P.S.エッシャーの版画は私も好きです。ご紹介いただいたのは、円の内部に投射した図形をモチーフにしたものですよね。
http://www.superliminal.com/geometry/hypertes/HyperbolicTesselations.html

補足

先に「お礼」に書いた内容は、こちら「補足」に書くべきものでした。
ユークリッド幾何では、リーマン幾何の「平面」が球面に相当するように、ロバチェフスキー・ボヤイ幾何の「平面」がスポンジ（？）に相当するのではないか、と思ったわけです。
「擬球」というものもあるわけですが、何となくですがこれって「美しくない」ものに感じてしまいます。対称性が低いからでしょうか。特異点もありますし。
全然見当違いのことを書いているかも知れませんので、ご指摘いただけると幸いです。