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質問No.3071727
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留数の求め方について
f(z)=z^(-1)*cotzのz=0における留数の求め方が分かりません。

z=0が2位の極である所までは分かるのですが、
公式を適用しても留数が求まらず行き詰っています。
回答よろしくお願いします。
投稿日時 - 2007-06-10 07:49:54

質問者が選んだベストアンサー

回答No.2
 どんな公式を使ったのでしょうか。
 留数の基本どおりに求めるのが簡単なように思います。

 関数f(z)のz=0における留数をb1とすると、b1は関数f(z)をz=0でローラン展開したときの1/zの係数になっていますので、
  f(z)=1/z^2-z/3-z^2/45-・・・
 ∴b1=0
と求めることができます。
 このとき、g(z)=z^2・f(z)=z・cot(z)とおくと、g'(0)がg(z)を展開したときのzの係数であることから、f(z)の1/zの係数になることを利用すれば、より早く解くことができます。
  b1=g'(0)=[z→0]lim[cot(z)-z/{sin(z)}^2]=0 (ロピタルの定理を駆使)

 一方、f(z)が正則関数の商であることを利用するものでは、
  f(z)=p(z)/q(z), p(z)=cos(z), q(z)=z・sin(z)
とおくと、2位の極においける留数は
  b1=2p'(0)/q''(0)-2/3・p(0)q'''(0)/{q''(0)}^2
となりますので、
  p(z)=cos(z)    p(0)=1
  p'(z)=-sin(z)    p'(z)=0

  q(z)=z・sin(z)
  q'(z)=sin(z)+z・cos(z)
  q''(z)=2cos(z)-z・sin(z)  q''(0)=2
  q'''(z)=-3sin(z)-z・cos(z) q'''(0)=0
から、
  b1=0
と求めることもできますが、3階微分まで行わなければならないので大変です。
投稿日時 - 2007-06-10 10:00:09
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ベストアンサー以外の回答 (2)

回答No.3
 #2です。
 どうやら、極限値の計算で困ったようですね。

> lim[z→0]d/dz[z^2*f(z)]
 =lim[z→0][cot(z)-z/{sin(z)}^2]
 =lim[z→0][{sin(2z)/2-z}/{sin(z)}^2]
 =lim[z→0][{cos(2z)-1}/sin(2z)]
 =lim[z→0][-2sin(2z)/{2cos(2z)}]
 =0
投稿日時 - 2007-06-10 10:07:41
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お礼
ロピタルの定理を利用すれば良いのですか!それには気付きませんでした!また、ローラン展開を利用しても良いのですね!留数の基本を忘れていました。明解な回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2007-06-10 18:30:35
回答No.1
>公式を適用しても留数が求まらず行き詰っています。
その適用しようとした「公式」をプリーズ。
投稿日時 - 2007-06-10 08:20:12
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補足
z=0が2位の極なので、Res[f,0]=lim[z→0]d/dz[z^2*f(z)]
で求めようとすると、分母が0になって求まらないのです。
投稿日時 - 2007-06-10 09:08:00
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