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留数の求め方について
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どんな公式を使ったのでしょうか。 留数の基本どおりに求めるのが簡単なように思います。 関数f(z)のz=0における留数をb1とすると、b1は関数f(z)をz=0でローラン展開したときの1/zの係数になっていますので、 f(z)=1/z^2-z/3-z^2/45-・・・ ∴b1=0 と求めることができます。 このとき、g(z)=z^2・f(z)=z・cot(z)とおくと、g'(0)がg(z)を展開したときのzの係数であることから、f(z)の1/zの係数になることを利用すれば、より早く解くことができます。 b1=g'(0)=[z→0]lim[cot(z)-z/{sin(z)}^2]=0 (ロピタルの定理を駆使) 一方、f(z)が正則関数の商であることを利用するものでは、 f(z)=p(z)/q(z), p(z)=cos(z), q(z)=z・sin(z) とおくと、2位の極においける留数は b1=2p'(0)/q''(0)-2/3・p(0)q'''(0)/{q''(0)}^2 となりますので、 p(z)=cos(z) p(0)=1 p'(z)=-sin(z) p'(z)=0 q(z)=z・sin(z) q'(z)=sin(z)+z・cos(z) q''(z)=2cos(z)-z・sin(z) q''(0)=2 q'''(z)=-3sin(z)-z・cos(z) q'''(0)=0 から、 b1=0 と求めることもできますが、3階微分まで行わなければならないので大変です。
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- Mr_Holland
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#2です。 どうやら、極限値の計算で困ったようですね。 > lim[z→0]d/dz[z^2*f(z)] =lim[z→0][cot(z)-z/{sin(z)}^2] =lim[z→0][{sin(2z)/2-z}/{sin(z)}^2] =lim[z→0][{cos(2z)-1}/sin(2z)] =lim[z→0][-2sin(2z)/{2cos(2z)}] =0
- koko_u_
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>公式を適用しても留数が求まらず行き詰っています。 その適用しようとした「公式」をプリーズ。
補足
z=0が2位の極なので、Res[f,0]=lim[z→0]d/dz[z^2*f(z)] で求めようとすると、分母が0になって求まらないのです。
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お礼
ロピタルの定理を利用すれば良いのですか!それには気付きませんでした!また、ローラン展開を利用しても良いのですね!留数の基本を忘れていました。明解な回答ありがとうございました。