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runway24r

f(z)=z^(-1)*cotzのz=0における留数の求め方が分かりません。

z=0が2位の極である所までは分かるのですが、
公式を適用しても留数が求まらず行き詰っています。
回答よろしくお願いします。
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  • Aみんなの回答(全3件)

    質問者が選んだベストアンサー

    • 2007-06-10 10:00:09
    • 回答No.2
     どんな公式を使ったのでしょうか。
     留数の基本どおりに求めるのが簡単なように思います。

     関数f(z)のz=0における留数をb1とすると、b1は関数f(z)をz=0でローラン展開したときの1/zの係数になっていますので、
      f(z)=1/z^2-z/3-z^2/45-・・・
     ∴b1=0
    と求めることができます。
     このとき、g(z)=z^2・f(z)=z・cot(z)とおくと、g'(0)がg(z)を展開したときのzの係数であることから、f(z)の1/zの係数になることを利用すれば、より早く解くことができます。
      b1=g'(0)=[z→0]lim[cot(z)-z/{sin(z)}^2]=0 (ロピタルの定理を駆使)

     一方、f(z)が正則関数の商であることを利用するものでは、
      f(z)=p(z)/q(z), p(z)=cos(z), q(z)=z・sin(z)
    とおくと、2位の極においける留数は
      b1=2p'(0)/q''(0)-2/3・p(0)q'''(0)/{q''(0)}^2
    となりますので、
      p(z)=cos(z)    p(0)=1
      p'(z)=-sin(z)    p'(z)=0

      q(z)=z・sin(z)
      q'(z)=sin(z)+z・cos(z)
      q''(z)=2cos(z)-z・sin(z)  q''(0)=2
      q'''(z)=-3sin(z)-z・cos(z) q'''(0)=0
    から、
      b1=0
    と求めることもできますが、3階微分まで行わなければならないので大変です。
    • ありがとう数0
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    その他の回答 (全2件)

    • 2007-06-10 10:07:41
    • 回答No.3
     #2です。  どうやら、極限値の計算で困ったようですね。 > lim[z→0]d/dz[z^2*f(z)]  =lim[z→0][cot(z)-z/{sin(z)}^2]  =lim[z→0][{sin(2z)/2-z}/{sin(z)}^2]  =lim[z→0][{cos(2z)-1}/sin(2z)]  =lim[z→0][-2sin(2z)/{2cos(2z)}]  =0 ...続きを読む
     #2です。
     どうやら、極限値の計算で困ったようですね。

    > lim[z→0]d/dz[z^2*f(z)]
     =lim[z→0][cot(z)-z/{sin(z)}^2]
     =lim[z→0][{sin(2z)/2-z}/{sin(z)}^2]
     =lim[z→0][{cos(2z)-1}/sin(2z)]
     =lim[z→0][-2sin(2z)/{2cos(2z)}]
     =0
    お礼コメント
    ロピタルの定理を利用すれば良いのですか!それには気付きませんでした!また、ローラン展開を利用しても良いのですね!留数の基本を忘れていました。明解な回答ありがとうございました。
    投稿日時 - 2007-06-10 18:30:35
    • ありがとう数0
    • 2007-06-10 08:20:12
    • 回答No.1
    >公式を適用しても留数が求まらず行き詰っています。 その適用しようとした「公式」をプリーズ。 ...続きを読む
    >公式を適用しても留数が求まらず行き詰っています。
    その適用しようとした「公式」をプリーズ。
    補足コメント
    z=0が2位の極なので、Res[f,0]=lim[z→0]d/dz[z^2*f(z)]
    で求めようとすると、分母が0になって求まらないのです。
    投稿日時 - 2007-06-10 09:08:00
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