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対数正規分布
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Xが対数正規分布に従うとして、その確率密度関数を、 f(x)=1/√(2π)σ・(1/x)exp{-(logx-μ)^2/σ^2} とすると、Y=logX、すなわちX=exp(Y)なるYは、確率密度関数、 f(y)=1/√(2π)σ・exp{-(y-μ)^2/σ^2} を持つ正規分布に従います。 よって、 E(X^k) =E(exp(kY)) =∫(-∞,∞)exp(ky)・1/√(2π)σ・exp{-(y-μ)^2/σ^2}dy を計算すればよいのですが、expの中身をyで平方完成すれば計算 できます。 k=1とすれば平均E(X)が求まり、k=2とすれば2次モーメントE(X^2) が求まって、分散V(X)=E(X^2)-E(X)^2が計算できます。
その他の回答 (1)
- zk43
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先にも書きましたが、これは対数正規分布の定義で、対数をとると正規 分布に従うような分布を対数正規分布というのです。 あるいは対数正規分布の確率密度関数を先に与えておいて、Y=logXと 変換してYの確率密度関数が正規分布のものになることが計算で証明 できます。 対数正規分布のlog→正規分布 正規分布のexp→対数正規分布(上の式の逆操作) 計算は一見複雑に見えますが、平方完成するところだけが要点なので、 計算自体は中学生レベルです。 一般的に、変数変換した場合の確率密度関数の求め方が分からない場合 は、意味が分からないと思うので、この辺の基礎は教科書でご確認をと いうことでご容赦を・・・
お礼
わかりました。何度もありがとうございました!!また機会がありましたらよろしくお願いします。
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補足
ありがとうございました!!!計算がなかなか大変です。一つお尋ねしたいのですが Xが対数正規分布に従うとき、Y=logXが正規分布に従うということはどのように証明できるでしょうか??