ベクトルの問題です （阪大）

質問

空間に座標軸をとり、原点をＯとする。Ｏを一頂点とする正四面体ＯＡＢＣがり、３頂点Ａ，Ｂ，Ｃは、ｘｙ平面上の放物線ｙ＝ｋｘ＾２をｙ軸の周りに回転してできる曲面上にある。
この正四面体の一辺の長さｌをｋであらわせ。ただし、ｋ＞０とする。

解答
点Ａを通りｙ軸に垂直な平面とＯＢ

ｙ軸に定める平面と与えられた曲面との交点をＢ＾とすると
ＯＢ＝ＯＡ＝ＯＢ＾
ゆえに、ＢとＢ＾は一致するＣについても同様であるから
平面ＡＢＣはｙ軸に垂直である、したがって平面ＡＢＣとｙ軸の交点
Ｈは△ＡＢＣの重心である。

∴ＡＨ＝2/3・ＡＭ＝2/3 ・√3i/2 = l/√3
また題意から
ＯＨ→＝ｋＡＨ＾２→＝ｋｌ＾２/３
ゆえに、
ＯＡ→＝ＯＨ→＾２＋ＨＡ＾２→に上の関係を代入して
ｌ＾２＝Ｋ＾２ｌ＾４/９　＋　ｌ＾２/３　
∴ｋｌ＝√６

（答）　ｌ＝√６/ｋ

質問です、まず図を書いてみました。３次元のグラフを書いて
ｘｙ平面上に０を頂点として（凸を下向きにして）描き
この放物線がｙ軸上の周りをコマのように回ってるイメージを描きました。
そのあと、正四面体の点ＡＢＣをおき、このコマのように回ってる中に正四面体が入るように図を描きました。

質問１：点Ａをとおりｙ軸に垂直な平面とはいったいどんなものですか？？平面ＡＢＣのことですか？平面ＡＢＣがｙ軸に垂直なのですか？？もし平面ＡＢＣならなぜですか？？正四面体の性質の何かからですか？？

質問２：ｙ軸の定める平面と、あたえられた曲面？って二つわかりませんでした。それらが交差する点がＢ＾らしいのですが。。
そして、ＢとＢ＾は一致するみたいですけど。。これらの図が不明なので、なにか図があって、それが、一致するとは読み取れるのですが。。

どうして、平面ＡＢＣとｙ軸の交点Ｈは三角形ＡＢＣの重心なのですか？正四面体の性質と関係してますか？？正四面体を調べても、
この部分の説明とつながれませんでした＞＿＜

質問３：最後の方にある、また題意からＯＨ→＝ｋＡＨ＾２→。。って部分がありますけど、題意のどこからこれがでてきたのでしょうか？？
すごく不明です＞＿＜

どなたか教えてください、宜しくお願いします！！＞＿＜

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

質問１：
＞平面ＡＢＣがｙ軸に垂直なのですか？？
そうです。
＞平面ＡＢＣならなぜですか？？
その説明を、質問２の部分でしているわけです。

質問２：
回答に誤植があるのか、ここに写すときに間違えたのかはわかりませんが、おそらく正しくは、

・点Ａを通りｙ軸に垂直な平面と、
・直線ＯＢとｙ軸によって定められる平面と、
・ｘｙ平面上の放物線ｙ＝ｋｘ＾２をｙ軸の周りに回転してできる曲面（これが与えられた曲面です）、
の交点をＢ＾とすると
ＯＢ＝ＯＡ＝ＯＢ＾
ゆえに、ＢとＢ＾は一致する。
Ｃについても同様であるから平面ＡＢＣはｙ軸に垂直である。

てことなんでしょう。
ＯＢ＝ＯＡは正四面体の定義から、ＯＡ＝ＯＢ＾は、点Ｂ＾が点Ａを通りｙ軸に垂直な平面上にあることから、きています。
この結果、点Ｂと点Ｂ＾は、ともに
・直線ＯＢとｙ軸によって定められる平面と、
・ｘｙ平面上の放物線ｙ＝ｋｘ＾２をｙ軸の周りに回転してできる曲面
の交線上にあり、ＯＢ＝ＯＢ＾ですので、実は、点Ｂと点Ｂ＾は同じ点であることがわかります。
したがって、点Ｂは、「点Ａを通りｙ軸に垂直な平面」上にあることがわかります。
点Ｃも同様に、「点Ａを通りｙ軸に垂直な平面」上にあることがわかります。
したがって、「平面ＡＢＣはｙ軸に垂直な平面」であることがわかります。

質問２の後半：
平面ＡＢＣとｙ軸の交点Ｈが三角形ＡＢＣの重心になるのは、正四面体の性質です。正四面体の１つの頂点から底面に下ろした垂線の足は、底面の三角形の重心になります。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q117761996
とか。

質問３：
ＯＨ→＝ｋＡＨ＾２→ ではなくて、
ＯＨ＝ｋＡＨ＾２　（ベクトルではなくて長さ）
だと思いますが。
ここで題意というのは、「点Ａが、ｘｙ平面上の放物線ｙ＝ｋｘ＾２をｙ軸の周りに回転してできる曲面上にある。」ということです。

回答No.2

nero199

よくわかんないとこもあるんですが一応説明します。間違ってたらすいません。
質問１
ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣであり放物線は下に凸です。よってＸが増えるとＹも増加します。２次元で考えるとｙ＝ｋｘ＾２上でＯからの距離が等しい点は２点しかありません。それは（α、β）（－α、β）です。（α　β：任意）
ある点（Ａ、ＫＡ＾２）の点をｙ軸を中心に回した円からＯまでの距離は等しいです。ちなみに円の方程式はＸ＾２＋Ｚ＾２＝Ａですここに（α、β、０）（－α、β、０）を代入することで同一平面だと分かります。
よってＡＢＣはＹ軸に垂直な平面にあります。

質問２
ＡＢＣはｙ軸に垂直な平面にあり　ｙ＝ｋｘ＾２上です平面で考えるとＡＢＣは円上で正三角形なのはわかりますよね？その円の中心がｙ軸なのでＨが重心です。正三角形の性質ですね。
質問３
Ｙ＝ＫＸ＾２に　Ｙ＝ＯＨ　Ｘ＝ＡＨを代入です　

感覚的に理解する力もつけたほうがいいですね。わかりにくくてごめんなさい。質問１はよくわかんなかったので自分なりにしてみました。