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sinθ・cosθの積分に付いて
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kapranさんは、 ∫(sin(nθ))dθ が幾らになるのか、「公式」として憶えていらっしゃる。ならば、置換積分するまでもなくその公式を使う。 ところがstomachmanは ∫(sin(nθ))dθ が幾らになるか、なんて全く記憶にございません。しかし ∫(sinθ)dθ = cosθ + C なら知ってます。 こういう人は、置換積分をやります。やってみて ∫(sin(nθ))dθ = (cos(nθ))/n + C という答を出す。これは「置換積分を使って、一つの公式を導いた」ということです。このように毎回、公式を導き直す。憶えられないからね。 単にそれだけの違いです。だからこの場合、置換積分を使うかどうかは、 「判断する」ような事じゃない。単に ・「公式として憶えている」→ 公式を当てはめるだけ ・「憶えてない」→置換積分でも部分積分でもフーリエ変換でも、何でも使って頑張って公式を導き直す ということに過ぎません。 同じ計算をやっても、岩波の数学公式集を丸暗記できる記憶力の持ち主にとっては、置換積分を使う機会はstomachmanよりずっと少ないということですね。
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- novaakira
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>置換するか、しないかを判断するポイントとかはありますでしょうか? これだけはもう勉強して覚えるしかないんですね。 この問題もはじめは置換積分をしました。 ですが、後から与えられた質問をよく見てみると、 sin2θと書かれていたので、 空っぽの脳みそをフル回転させて考えてみたら、 あ、倍角の公式じゃん ってな感じだったのです。 ですので、自分がやりやすい方法でいいと思います。 下手にどっちでやろうかなんて考えてたら 考えるだけに時間を無駄に費やしてしまいますからね。 まぁ、僕の場合は三角関数が出てきたらはじめに置換積分 やってしまいますが・・・・(^_^)
お礼
なるほど。。。 倍角の公式を使うことも、必須ではないのですね。 sinθを、tと置く方法もありました。 やはり、なれる必要があると言うことですね。 ありがとうございました。
- novaakira
- ベストアンサー率36% (60/164)
π/2 ∫(sinθ・cosθ)dθ 0 f=sinθ、g'=cosθとすると f'=cosθ、g=sinθとなります。 ここで、 ∫(f×g')=[f×g]-∫(f'×g) という公式を用いると、 π/2 π/2 π/2 ∫(sinθcosθ)dθ =[sin^2(θ)] - ∫(sinθcosθ)dθ 0 0 0 となり、よって、 π/2 π/2 2∫(sinθcosθ)dθ =[sin^2(θ)] 0 0 となり、 π/2 π/2 ∫(sinθcosθ)dθ =1/2[sin^2(θ)] 0 0 となります。 あとは左辺を解いて π/2 ∫(sinθcosθ)dθ =1/2 0 となります。又は、 f'=sinθ、g=cosθとすると f=-cosθ、g'=-sinθとなり、 π/2 π/2 π/2 ∫(sinθcosθ)dθ =[cos^2(θ)] - ∫(sinθcosθ)dθ 0 0 0 となり、 π/2 π/2 2∫(sinθcosθ)dθ =[cos^2(θ)] 0 0 となり、 π/2 π/2 ∫(sinθcosθ)dθ =1/2[cos^2(θ)] 0 0 となります。 そして、これもさきほどと同様に答えは1/2となります。 しかし、こんな面倒なことをしないでも、今回の場合、 三角関数の公式を用いれば簡単です。 sin2θ=2sinθcosθ という公式をもちいれば、 π/2 π/2 ∫(sinθ・cosθ)dθ=1/2∫(sin2θ)dθ 0 0 となるわけです。 あとはsin2θを積分すれば、 π/2 1/4[-cos2θ] ・・・(2) 0 となり、θに値を代入してあげれば、 与式=1/4(1+1)=1/2 となるわけです。 数学の公式は以下の参考URLでも見てください。
補足
ご回答ありがとうございます。 > あとはsin2θを積分すれば、 > π/2 > 1/4[-cos2θ] ・・・(2) > 0 > となり、θに値を代入してあげれば、 > 与式=1/4(1+1)=1/2 > となるわけです 必要に迫られて、必要な部分だけ学習しています。(^_^; sin2θは、置換しなくても良い(積分できる)と言う理解で良いと言うことですね。 置換するか、しないかを判断するポイントとかはありますでしょうか?
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なるほど。。。 置換する目的がイマイチでした。(^_^; ありがとうございます。