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ベクトルの内積を複素数で表したい
Tacosanの回答
- Tacosan
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内積だけ: Re [z(1) ・ z'(2)] ただし z' は z の共役
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次の複素数を極形式で表せ。ただし、0°≦θ<360° z=1-(cosθ+isinθ) z=1-(cosθ+isinθ) =1-cosθ-isinθ =2sin^2θ/2-2isinθ/2cosθ/2 =2sinθ/2(sinθ/2-icosθ/2) =2sinθ/2{cos(90°-θ/2)-isin(90°-θ/2)} =2sinθ/2{cos(θ/2-90°)-isin(θ/2-90°)} となるそうです。 極形式で表せということは z=r(cosθ+isinθ)にもっていくことは分かるのですが、そのもって行きかたが分かりませんでした。 式の1行目から2行目は普通の展開ですよね。 2行目から3行目とそれ以降は何をしているのですか? すいませんが解説をお願いします。
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ありがとうございます。 二つの複素数z(1)、z(2)の積 z(1)*z(2) をベクトルOz(1)、Oz(2)を用いて表す方法ですが、単位ベクトル(1,0)が必要になると思います。 それを用いれば、少し汚い形ですが表せそうです。
補足
ありがとうございます。僕も自分の中では、数時間考えました。 複素数z(1)、z(2)の積 z(1)*z(2) をベクトルOz(1)、Oz(2)を用いて表したいのですが、 始点をOとし終点をz(1)とするベクトルOz(1)=a, 始点をOとし終点をz(2)とするベクトルOz(2)=b, 始点をOとし終点を1とするベクトルO1=e, とします。 複素数の表示には、直交座標表示と極座標表示がありますが、極座標表示がよさそうです。 すると、z(1)*z(2)は、その絶対値r(1)*r(2)と偏角θ(1)+θ(2)をベクトルの内積を用いて表せばよさそうです。 絶対値は r(1)*r(2)=|a||b| となりベクトルの内積を用いて表せます。もちろん、 |a|=√<a,a> の意味です。 偏角ですが、そのcosつまり、 cos{θ(1)+θ(2)} をベクトルの内積を用いて表すことに還元します。 ベクトルaをベクトルeに正射影したものは、<a,e>eです。 ベクトルaを、ベクトルeに対して対称に折り返したものを、xとすると、 x+a=2<a,e>e より、 x=2<a,e>e-a このベクトルxの偏角は-θ(1)です。 またベクトルbの偏角はθ(2)です。 つまり、ベクトルxとベクトルbのなす角は{θ(1)+θ(2)}です。 そのbとxの内積を考えることで、 cos{θ(1)+θ(2)}=<b,x>/|b||x| これでなんとか複素数の積をベクトルを用いて表すことが出来ましたが、なんの意味があることやら。。。。