反比例かどうかグラフから判断

質問

グラフの曲線を見て、反比例かどうか判断する方法はありますか？
原点を通らない、曲線の関数だったら、必ず反比例っていえるわけじゃないと思うのですが。

インターネットで引いたら、
両対数とか半対数とか　聞いたことの無い言葉が出てきたのですが。
いま私は中３です。
私にも理解できるような方法で反比例のグラフかどうか判断する方法はありますでしょうか？

回答No.5

sacra_sak · ベストアンサー

A2 です．各補足にある件についてお答えします．

[#1]
　反比例で原点を通るということはありえません．おそらく A1 の方が言っているのは，y = 1/(x-1) +1 のようなグラフのことで，これは確かに反比例という考え方の拡張ではあるんですが，
・x と y の積が一定でない
・x と y を入れ替えて成り立たない
　などの点で反比例とは区別されます．これは分数関数 (有理関数) といいます．逆に反比例の式 y = a/x は分数関数の一つです．

[#2]
　実験であれば誤差はつきものなので，だいたい主な値をとって積が一定であれば反比例と判断して大丈夫かと思います．
　誤差の範囲ですが，これは実験で扱っている数字によります．100 秒とかそういう大きさであれば 3 くらいの違いは許容されますし，1cm や 2cm というスケールであれば 0.2 cm くらいまでは OK といった感じです．その辺はファジーです．

[#4]
　結論からいえば，言えます．反比例は逆比例とも呼び，その意味は「逆数に比例する」ということですから，y = aX つまり y が X に比例するというとき，X が 1/x つまり x の逆数であれば y は x の逆数に比例していますから，これはある意味，「反比例の定義自体」といえましょう．
　しかしこれは仕組みとしては積 xy を計算して確かめるのと全く同じなので，これまで確かめたことに付け加えるところはないでしょう．

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
これで悩みはすっきり解決。
もう、レポートの提出日が迫ってるので、そろそろ取り掛かろうと思います。
たしかに、４で書いた方法はｘとｙを掛け算することとまったく同じですね。
ありがとうございます。

回答No.6

stomachman

実験をやって、xとyの値の組を沢山得た。そこでこれをxを横軸、yを縦軸にしてグラフにしてみたら、なんだか反比例のグラフっぽく見えた。

　本当に反比例かどうか確かめるには、まずはxを横軸、Y=(1/y)を縦軸にしてグラフにしてみればいいね。もし本当に反比例だったら、
y = a / x (aは定数）
という関係が成り立っているんだから
Y = x/a
になって、xとYのグラフは原点を通る直線になるはずだから。

　もし、やってみたら直線とは似ても似つかない、というのなら、「これは反比例じゃない」とはっきり分かった。（さて、じゃあどういう関係なのか、について考えるには、片対数方眼紙や両対数方眼紙（多分、先生が持っているでしょう）にプロットしてみるのも一つの手だけれど、なかなか難しい話になって行きます。）

　一方、もし、やってみたらだいたい直線になった、というのなら、「反比例かも知れない」と思われる。ですが、「反比例だ」と断言するわけには行きません。「本当は反比例とはちょっと違うけれど、グラフでは見分けがつかない」ということかも知れないからね。

お礼

はぁ、なるほど。
でも、先生はいってました。
考えて出た答えなら間違っていても気にしない、と。
なので、今回は反比例である可能性が非常に高い　という結論に使用と思います。
間違っていたら正しい答えを教えてくれるはずだから。
ご回答ありがとうございました。

回答No.4

noname#40706

Ａ３です。原点を通らない曲線・・・・・

放物線　２次関数のグラフは習いますか？

でも、かたちを見たら、区別がつくと思います。

あなたにとってとても不満な答えかも知れませんが、

中学の数学で出てくる曲線は　放物線・反比例（双曲線といいます）・円など　あまり多くありませんので、かたちを見てピンときた答えを書けば結果的に正解だということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
見るのがおそくなったので、こちらにお礼を書くことにします。

放物線や二次関数は習いました。
ｙ＝ax^2　の形のものしか学校ではやっていませんが、
他のタイプも塾ではやったことがあります。

ｙがｘ^2に比例するかどうか、調べるために授業でこのような手順を取りました。
（ｘとｙの表はもともと用意されていました）
ｘ^2をX(ラージエックス）とあらわし、
ｘ　｜１｜２　｜３　｜・・・・・・
ｙ　｜４｜１６｜３６｜・・・・・
X　｜１｜４　｜９　｜・・・
という風に表を計算してだし、
ｙとXのグラフを書き、
それが直線であれば、ｙとｘ^２は比例するといえるのです。

コレと同じ方法で、
ｙ＝a/x　を　ｙ＝aX X=1/x で表を作り、
グラフを書いて直線だったら　反比例ということはできるのでしょうか？
それとも、反比例はやっぱり反比例で仕組みが違うから無理なんでしょうか？

回答No.3

noname#40706

Ａ２　さんと同じですが、中学校の勉強（例えばテストや宿題など）では、グラフのかたちが、下のサイトのような曲線ならば、反比例のグラフと答えて正解だと思います。原点を通らない曲線は反比例しか習わないのではないでしょうか。

それでも不安ならば、グラフの曲線上の点の座標（ｘ、ｙ）を値を読みとって、ｘかけるｙを計算します。何点かで計算をして全部同じ値になることを確かめたらいいです。

例えば、ｘかけるｙの値が全部６ならば、

ｘｙ＝６、つまり、

ｙ＝６／ｘ　という反比例のグラフというわけです。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ｘ｜１｜２｜３｜・・・｜６｜
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ｙ｜６｜３｜２｜・・・｜１｜
－－－－－－－－－－－－－－－－－－

のような表を作ればもっとよくわかります。

高校やそれ以降になるとさまざまな曲線のグラフを習いますので簡単にはいかないです。

対数については高校で習います。

参考URL：

http://www2.edu.ipa.go.jp/gz/e1math/e1hiha/e1hih3/IPA-mat190.htm

回答No.2

sacra_sak

#1 の方になんですが，中学生で反比例といえば y = a/x しかないでしょう．1/x とか 2/x とかね．
　ではたとえば反比例の式を y = 1/x としましょう．これの両辺に x (0 でない) をかけると，xy = 1 となりますよね．このように反比例のグラフ上の点では，x 座標と y 座標をかけるとどこでも同じ値になります．
　だから例えば曲線上に点 (1, 1) とか (1/2, 2) とかがあれば，どれも積が 1 ですから，反比例のグラフ y = 1/x 上にあるといえます．
　ただ，通る点も書いてないただの曲線だと判断はできませんね．でも中学生レベルで双曲線といったら反比例しかありませんから，まぁ今のうちはそういう判断でもいいんじゃないかとは思います．

お礼

ご回答ありがとうございます。
双曲線かどうかは補足で言ったとおり、わかりません。
ｘもｙもゼロより大きい値しか測定していませんから。
掛け算すると大体同じ数になるので、反比例ではないかと思います。
だいたい、この数字どれくらいの誤差までなら大丈夫なんでしょうか。

補足の方に誤字があります。
「ッ手判断」ではなく「って判断」です。
すみませんでした。

補足

説明不足でした。
実験を行い、値を測定した物でグラフを書きました。
それが滑らかな値が下がっていく（？）曲線だったのです。
レポートを書いてまとめるという宿題をしているのですが、
その結果として反比例するかしないか知りたかったのです。
実験したときの値なので正確じゃないから、すべての点を取らないで間をとって書いたグラフなので、値を掛け算して確かめるということはあまり出来ません。
大体、同じ値になりますが。
あと、クラスのみんなは曲線を見ただけで、反比例反比例　ッ手判断しているんですけど、
私は線を見ただけで判断できるなんて納得いかないのです。

回答No.1

lasagna

比例のグラフは原点を通ったり、通らなかったり様々ですが簡単に言えばまっすぐ直線なグラフが比例のグラフです。
反比例のグラフも原点を通ったり、通らなかったりしますが簡単に言えばカーブを描いた曲線なグラフです。
自分もまだ高２ですが、反比例ではへびのようにうねった曲線など色々と出てくるようです。
とりあえず、上記の事だけで判断して良いと思います。

お礼

え！？　反比例で原点を通ることってあるんですか、
はぁ、ワタクシもまだまだ勉強不足ですね。
y=axだけじゃなくて、y=ax+b とかみたいに、
足したり引いたりすると原点を通るんですかね。
でも、カーブをしてる線だと、放物線とか二次関数とかそういう物である可能性はないんですか？
ご回答ありがとうございます。