比例反比例・一次関数の教え方

質問

自宅で子供の勉強を見ているものです。できれば専門家のご意見を頂きたいです。

私が子供だったとき、塾講師だったときを通じての疑問ですが、反比例というものを比例と平行して中１段階で教える意味が理解できません。比例は現実世界との結びつきも多く、関数の導入として適当だとは思いますが、反比例は狭く特殊な世界で、実際教え方もおまけ的になっていると思います。それくらいなら、比例→一次関数としたほうが良いのではないか、本当は一次関数にいきなり入ってそのうち原点を通る特殊例として比例を教えても良いくらいだと思いますが、そういう演繹的な方法は全ての子供にわかりやすくはないので、判りやすい（と思われる）比例から入るのはOKなんですが。

そもそも反比例のy=a/xという式を1年生に見せることが相当問題だと思うんです。方程式でもxが分母になる形は教えなくなっていますし、この式はx=0の場合の考え方（不能・不定）を教えてから出ないと双曲線となることの意味も完全には捉えられないし、難しい式だと思うんです。比例を、xの増分とyの増分の関係は一定と教えるなら、一次関数もそうなわけですから、今のように比例を教えて、ずいぶん経ってから一次関数を持ち出すのは判りにくく、繋げて教えるべきだと思っています。家での教え方は、方程式を連立まで教えて、一次関数に入る（比例は特殊例と教える）でやっていて問題ありません。

小学校のカリキュラムにも関係してくると思いますが、どうしてこういうことになっているのでしょうか？

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１です。
　お礼をありがとうございます。

＞むしろ比例→一次関数と方程式の対照関係を意識させたほうが（若干ながら）よいように思っているところです。

　makochiaさんは、関連のある単元はまとめて近い時期に教えた方がよいとのお考えかと推察しました。
　それであれば、「1次方程式　→　連立方程式」　の学習を先に終えていれば、学習の順序としては、それでもよいかもしれません。

　ただ、関連のある単元を敢えて時間を空けて学習する利点もあるかと考えています。

　その1つは、新しい単元を学習する際に、関連する以前の単元を自然とおさらいする効果が期待できることです。
　過去に学習した単元でも時がたてば理解した内容が薄れることはよくあります。そのため、理解を定着させるためには、定期的に復習する必要がありますが、同じ単元の学習をしていては学習効率が損なわれます。
　そこで、少しずつ難易度を上げながら復習していけば（つまり時間を空けて段階的に難易度を上げて学習していけば）、新しい単元の学習とともに以前の単元の復習効果を期待することができます。

　もう1つは、まとめて学習する際の欠点を避けることです。
　同じ数学の中でも、図形は得意だけど方程式は苦手だとか、その逆があったりと、たいがい生徒により得手不得手があります。
　たまたまある定期テストの範囲が苦手な分野ばかりが集中してしまいますと、生徒の学習意欲を損ねたりしますし、また指導者の立場としては、時系列的な学習状況の把握が難しくなる面があります。
　また得意な分野が続いたとしても、同じ分野ばかり学習していますと、いくら得意でも飽きが生じ、学習意欲を損ねる恐れもあります。

　そのため、各単元の学習順序はバランスを重視して考えられ、その結果、比例／反比例は中1で、1次関数は中２でと配分されているのだと考えています。

＞特異点の問題については全く同感ですが、今の反比例の扱いは全くおまけになっていて、特異点のことに思いを致すレベルまで行っている子は非常に少ない。

　確かに特異点にまで発展して考えられる生徒は少ないですね。
　ただ少ないながらも、早い時期に触れておくことで高校数学に進んでからの特異点や極限の理解を容易にしているように思うのですが、いかがでしょうか。

　あと、「今の反比例の扱いは全くおまけ」とのことですが、手持ちの教科書を見ますと、

　　比例　　　　　　　・・・　16ページ
　　反比例　　　　　　・・・　8ページ
　　比例／反比例共通　・・・　5ページ
　　　　（出典）大日本図書　新版　中学校　数学１

となっていて、「おまけ」とまではいえないように思っています。
　これだけのページ数が割かれていれば、学校の授業では1週間程度は学習しているのではないでしょうか。
　むろん1週間を「おまけ」と見なすかについては、見解の違いがあるかもしれませんが。

　以上、また私見を述べました。よろしければ参考にしてください。

お礼

入力方法が変わってしまい失礼しました。いろいろありがとうございます。

おっしゃられるように、論理的に整合的な順番で教えるばかりが良いわけではありませんね。具体と抽象の間をある程度行ったり来たりしながら螺旋状に理解が高まっていくというのも、重要なポイントですね。ただ、依然こだわりがあるのは、指導要領の1-2年の進度の遅さが心配だからなんです。昔のカリキュラムでも３年生はしんどかったのに、ゆとり以降、1-2年がのんびりしすぎていて、3年でいきなり難しいことを詰め込んでいく傾向が酷くなった。高校受験対策だけでなく、これはまずいと思ってるんです。とすると、1-2年をもう少し駆け足でやりたい。そのためには演繹的なカリキュラムを組んだほうがいいんじゃないかと。もう少し試行錯誤してみます。

反比例がおまけというのは言いすぎでした。ただ、本来比例より反比例のほうが数倍難しいと思っていて、その割にはという気がしています。また、比例反比例共通というのもあまりきちんと位置付けられてないなあと感じています。

回答No.1

Mr_Holland

反比例を比例と同じ時期に学習するのには、「現実世界との結びつき」から意味があると考えています。
　というのは、比例／反比例を表す式　Ｚ＝ＸＹ　は、次のように小学校の算数から中学で使われる関係と密接に絡み合っているからです。

　（道のり）＝（速さ）×（時間）
　（比べる量）＝（元にする量）×（割合）
　（熱量）＝（熱容量）×（温度）、　（熱容量）＝（比熱）×（質量）
　（電圧）＝（電流）×（抵抗）、　など

　現在の小学校算数の段階では、これらの関係の内２つを既知として、未知の第３の量を求めることを主に学習してきましたが、中学数学になると既知量を１つとして、２つの未知量の関係を考えるようになります。
　このとき、既知（一定）とする量は　Ｚ＝ＸＹ　の　ＸやＹ　であれば比例という簡単な関係になりますが、　Ｚ　を既知（一定）とした　反比例　のケースを扱わなければ　不完全な学習　になってしまいます。
　そこで、少々難しくなりますが、反比例も一緒に学習しているのだと思っています。

　確かに、反比例には　ｘ＝０のときの特異点の問題がありますが、逆にこのことは「なぜ０で割れないか」のグラフ的な説明になり、わり算や分数の理解を促す効果があると思っています。
　また、このことは「０」（ゼロ）という数の不思議さや、限りなく軸に近づく（漸近する）など無限大や無限小に触れさせる側面もあり、ここから数学的好奇心を膨らませていく生徒がいることも確かです。
　特異点を学習するには中１は早いのではというご指摘には頷けるところもありますが、曖昧さを残しながらも　Ｚ＝ＸＹ　という簡単な式にも、奥深い数学の世界に踏み込める入り口があると示すことは意義のあることだと思います。

　ちなみに、私が子供の時（今から３０年ほど前）は、まだ負の数も学習していないのに公立小学校でも比例／反比例を学習していましたが、特段難しかったという印象はありませんでした。むしろ、こんな僅かな式の書き換えで、グラフが劇的に（直線から曲線に）変化することに驚きを感じていたぐらいです。

　以上、私見を述べました。ご参考になれば幸いです。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございます。

反比例が難しいということもあるのですが、むしろ比例→一次関数と方程式の対照関係を意識させたほうが（若干ながら）よいように思っているところです。

ただ、「みはじ」等で比例するものと、反比例するものとを対照しながら理解を深めていくというのは見識ですね。大変参考になりました。

特異点の問題については全く同感ですが、今の反比例の扱いは全くおまけになっていて、特異点のことに思いを致すレベルまで行っている子は非常に少ない。それで一旦終わりになって、何ヶ月も経って一次関数というカリキュラムに疑問を感じます。

ところで、調べていたら指導要領では、比例→反比例でも、比例→一次関数でもよいとなっているようですね。実際の教科書では一次関数に繋げている例は見ませんが．．．。