XとYの関係式 二次関数？

質問

おはようございます。高１の数学の問題です。
模試の過去問を解いていてどうしても解けない問題があります。

実数xとyは関係式
2x^2-2xy+y^2-7x+4y+5=0
を満たす。
(1)yの取りうる値の範囲を求めよ。次に、関係式を満たすx,yの組で、xとyが自然数であるものをすべて求めよ。

(2)関係式を満たすx,yについてx-yの最大値も求めよ。

という問題なのですが、(1)はxについての二次式とみて因数分解を試みたのですがうまくいかず、yについてみると途中までできるのですが因数分解したところで範囲が出てくると思いません。
どうすれば解けるのでしょうか？非常に気になります。
こちらから質問しておいて大変申し訳ないのですが、時間がありませんのでお早めにご回答お願いいたします。

回答No.1

killer_7 · ベストアンサー

計算は簡単だから，方針だけで十分でしょう．

2x^2-2xy+y^2-7x+4y+5 = 0 <=> 2x^2-(2y+7)x+y^2+4y+5 = 0
をみたす実数x, yが存在することと，
yを実数とする実数係数のxの2次方程式
2x^2-(2y+7)x+y^2+4y+5 = 0
が実数解を持つこととは必要十分だから，求めるべき条件は
（上の方程式の判別式）≧ 0.

この条件をみたすyのうち，整数は-2,-1,0,1のみだから，
自然数になるものは代入して計算（高校生なら，y=1のみかな）．

(2)
x-y = k,
2x^2-2xy+y^2-7x+4y+5 = 0
をともに満たす実数x, yが存在するような実数kの範囲を求めればよい．
y=x-kを下に代入して，
x^2-3x+k^2-4k+5 = 0.
(1)と同じく，この2次方程式が実数解をもつことが求めるべき条件で，
kの範囲がわかり，最大値もわかる．

お礼

お礼が遅くなってしまって大変申し訳ありません。
とてもわかりやすい解説ありがとうございました！