曲線の近似について

質問

平面上に数式を用いて曲線を表現する例として単位円が示されていました。

x=cos(u)
y=sin(u)
0<=u<=2PI
　　　　　　　　　（１）
これをさらに置き換えることで

x=(1-u^2)/(1+u^2)
y=2u/(1+u^2)
(x>=0のみ)
　　　　　　　　　（２）
としめされてます。これがさらに

x=0.43u^3+1.466u^2+0.036u+1
y=-0.43u^3-0.177u^2+1.607u
　　　　　　　　　（３）
という多項式で近似的に示すことができるみたいなのです。

（１）から（２）への過程は理解できるのですが、これらをさらに（３）で近似できることがよくわかりません。なぜ（３）ではこのような数値が出てくるのか教えてください。

回答No.5

black_monkey

black_monkeyですぅ～。
No3で提案させていただいた方法で、具体的に計算をしてみましたので、結果のみをご報告いたします（計算と言っても手計算ではありませんのであしからず）。
(1) cos(θ)≒P(u)=a+b*u+c*u^2+d*u^3
(2) sin(θ)≒Q(u)=e+f*u+g*u^2+h*u^3
としたとき、
a=0.997,b=0.056,c=-1.497,d=0.441

e=0,f=1.613,g=-0.173,h=-0.441

と言う結果が得られました。
この式をプロットしていただければわかりますように、この近似式でも、sin,cosのよい近似式になっているかと思います。

lamさんの提示された
cos(θ)=x = 0.43u^3 - 1.466u^2 + 0.036u+1
ain(θ)=y = -0.43u^3 - 0.177u^2 + 1.607u
の近似式の係数と微妙に異なっています（特にbの値）が、割と近い値が導出できている思います。
lamさんの提示された近似式そのものが導出できなかったことからするとNGという結果かもしれませんが、とりあえず、No３のアイデアがどの程度うまくいくのか確認できましたので撤退いたします。

誤記、ウソがありましたらゴメンなさい。

お礼

たびたびの回答ありがとうございます。また、返事遅れてすみませんでした。係数は近似の仕方によって様々のようですね。私も結局最小自乗推定を用いる羽目になりまして、かなり近い値を得るにいたりました。black_monkeyさんの回答も大変参考になりました。ありがとうございました。