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宝探し
次のような古文書がある。これをもとに宝探しをしよう。「ある島に、井戸と松の木と梅の木がある。井戸から松の木へ線分を引け。そこから右へ90度曲がり、同じ長さだけ進み、そこに杭を打て。２本の杭の中点に宝は隠されている。」ところが、実際に島へ行ってみると、あるのは松の木と梅の木だけ。井戸ももちろん杭もなかった。井戸は埋まってしまったらしい。さあ、君は宝物を発見できるか。 上記の問題について井戸を動かしてみよ。それから分かる関係を推測しそれを証明せよ、という問題です。 井戸を動かしてみると２本の杭と宝が重なり井戸-松-２本の杭と宝-梅の四角形を描く時、その四角形は正方形となるということが推測できました。 これの証明のヒントを頂きたいです。そもそもこの推測は合っていますでしょうか？よろしくお願いします。
- destinatio
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今、松の木、梅の木の位置をA,B、井戸をXとしてAを原点(0,0)、B(b,0)となるように 座標を考える。X(x,y)であったとしてそれぞれの杭の位置P,Qは P(-y,x),Q(y+b,b-x)となるので中点の座標は(b/2,b/2)となり、Xの位置に関係なく 定点となります。（A,Bが定点ならという前提つきですが） そこから推測すると二つの直角二等辺三角形XAPとXBQがある時、PQの中点Mに対して ABMが直角二等辺三角形になることを証明すれば良いと思われます。
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destinatio さんは幾何派のようですね。 こちら、代数派なので座標で考え、井戸の場所は関係ないことだけ示しておきましょう。 井戸を原点とし、松の木の座標(Xm,Ym)、梅の木の座標(Xu,Yu)、とする。 二本の杭の座標は (Xm+Ym,Ym-Xm) (Xu-Yu,Yu+Xu) 宝の地点の座標(Xt,Yt)は両者の中点ゆえ Xt={(Xm+Xu)+(Ym-Yu)}/2 Yt={(Ym+Yu)-(Xm-Xu)}/2 と表される。 ここで井戸の場所を変えてみよう。その結果として X,Y座標がそれぞれA,Bだけ増大したとき、 XtはAだけ増大 YtはBだけ増大 することが上式からわかる。 これは、宝の地点が井戸の場所とは無関係にわかることを意味する。// Q.E.D
お礼
178tallさん、お答え頂きありがとうございます。 詳しい式の説明によりなぜ宝の地点が井戸の場所とは無関係にわかるのかが納得いきました。
>「ある島に、井戸と松の木と梅の木がある。井戸から松の木へ線分を引け。そこから右へ90度曲がり、同じ長さ >だけ進み、そこに杭を打て。２本の杭の中点に宝は隠されている。」 よく考えれば「井戸」の位置なんぞ無用な問題なのでしょう。 それにしても、もう一本の杭はどこに打つの？ おまけに、梅の木の役割は何なの？ その存在しか示されてないけど。
補足
178tallさん 問題に不備がありました。訂正します。 次のような古文書がある。これをもとに宝探しをしよう。「ある島に、井戸と松の木と梅の木がある。井戸から松の木へ線分を引け。そこから右へ90度曲がり、同じ長さだけ進み、そこに杭を打て。井戸から梅の木へ線分を引け。そこから左へ９０度曲がり、同じ長さだけ進み、そこに杭を打て。２本の杭の中点に宝は隠されている。」ところが、実際に島へ行ってみると、あるのは松の木と梅の木だけ。井戸ももちろん杭もなかった。井戸は埋まってしまったらしい。さあ、君は宝物を発見できるか。 上記の問題について井戸を動かしてみよ。それから分かる関係を推測しそれを証明せよ、という問題です。 よろしくお願いします。
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