リー微分って何ですか？

質問

リー微分は普通の微分とどこが違うのでしょうか？

代数学や解析のテキストを読んでも、定義や定理の証
明が私にとっては難しすぎるので、さっぱりイメージ
が掴めません（それを乗り越えないと理解できないの
かもしれませんが…）

私は工学が専門なので、直感的なイメージを掴みたい
のですが、それは無理な話なんでしょうか？

回答No.3

zzzzzz · ベストアンサー

>１パラメータを時刻、Kをベクトル空間における値、
>変換群を演算子として考えると、たとえば、時刻tに対
>して連続に変化する演算子A(t)を考え、同様にｔが若
>干変化した演算子A(t+dt)を考えると、y1=A(t)x　と
>y2=A(t+dt)xを計算した場合、Lie微分はy1とy2の差で
>ある、という解釈でよろしいのでしょうか？

概ね正しいと思いますが、いくつかの注意が必要です。
１．前回は可能な限り平易に書いたつもりですので、
　その対価として著しく厳密性を欠いています。
　ここを考えた上で、「y1とy2の差」というとらえ方を
　修正する必要があります。
２．演算子A(t)の大まかな意味を理解していないと意味がありません。

[１について]
Lie微分の正しい式は、ベクトル場Xの1-parameter変換群をφ_t(x)と書くとき、
lim_{t→0} [{(φ_(-t))_*}Y - Y] / t
です。
これは、tでparametrizeされたベクトル場{(φ_t)_*}Yの意味を
理解していれば、次のように読むことができます。
(tを固定するたびにベクトル場が１つ決まる、という状況です)

いま、φ_0は考えている多様体M上の自己微分同相ですが、
1-parameter変換群の定義によりこれは恒等写像です。
ですから、ベクトル場の族Y(t)を、
Y(t) = {(φ_t)_*}Y
で定めれば、上の式は
lim_{t→0} {Y(-t) - Y(0)} / t
と書けます。
符号にさえ注意すれば、あとは普通の微分と同じように理解できます。
（これは「-Y'(0)」です）
republikyさんの言葉で言えば、A(t)は(φ_t)_*に相当すると思います。
よって、修正するとすれば、Lie微分とは
A(t)のt=0での「導関数」の、符号を反対にしたもの、となります。
#1では符号については敢えて書きませんでした。

[２について]
後は(φ_t)_*の意味をつかめばいいのですが、
正直、これは図なしで説明するのはキツいです。

まず、一般の微分同相写像fの場合の、(f_*)Yを説明します。
（数学的には、fが単に写像、というだけでは定義がうまくいかないことに注意してください）
ベクトル場Yを「流れ」として考えた場合、
その「流れ」を表す曲線たちをfで写すことができます。
その写した後の流れが表すベクトル場を、(f_*)Yと書きます。
例えば、Euclid平面上で、Y=d/dx（x軸方向の大きさ１の「流れ」）、
微分同相fを原点を中心とする90度回転、とする場合、
(f_*)Y=d/dy（y軸方向の大きさ１の流れ）
となります。
数学的な式では、{(f_*)Y}(x) = (f_*){Y(f^(-1)(x))}です。
（この式と上の定義が同じ、ということが分かれば理解完了です）
（右辺のf_*はdfと書くこともあります）
（fの逆写像を使って定義するため、fが微分同相と仮定しました）

さて、{(φ_t)_*}Yに戻ります。
tが十分小さい場合、{(φ_t)_*}Yは、
ベクトル場Yを上のやり方で、Xの流れに沿って少しだけずらしたもの
と考えられます。
「流れを、流れに沿って流す」わけです。
図を描いてイメージをつかむのが良いと思います。
うまく説明できなくてすみません。

[補足]
・Lie微分の計算は、L_X(Y) = [X,Y] = XY-YXを駆使すればできると思います。
・Lie微分の他に、共変微分というものもあるのですが、
　共変微分と比較した場合のLie微分の特徴は、点pでのL_X(Y)の値が
　何に依存するか、という点です。
　共変微分はXのpでの値と、Yのpの周りでの値に依存し、
　Lie微分はXのpの周りでの値と、Yのpの周りでの値に依存します。
　（Lie微分には「微分する側」と「微分される側」の性質上の区別がありません）

回答No.4

zzzzzz

>（Lie微分には「微分する側」と「微分される側」の性質上の区別がありません）
読み返してみると、誤解を招きかねない表現でした。
L_X(Y) = L_Y(X)
という意味ではありませんので注意してください。
（正しくはL_X(Y) = -L_Y(X)です）

通常の微分では、点pでの「微分係数」はX(p)（微分する側のベクトル場Xの、点pでの値）
で決まり、p以外の場所でのXの値にはよりませんが、
Lie微分ではそんなことはなりたたない、ということが言いたかったのです。

お礼

詳しいご説明ありがとうございます。
まだ力不足で、理解が不十分な点が若干ありますが、
以前に比べかなりクリアになったような気がします。

zzzzzzさんの回答を参考に、再度勉強して完全な
理解にしていきたいと思います。

回答No.2

shadoworks

テンソルについて調べてみました。

人間の皮膚にもある？テンソル感知式触覚センサー
http://www.alab.t.u-tokyo.ac.jp/intro/alab98_4.html

テンソルなどの用語を相対性理論の文脈で紹介
http://member.nifty.ne.jp/GYAKUSOU/sou3/sansaku/sansaku.html

下記参考ＵＲＬでは微分多様体を教科書風に解説

参考URL：

http://village.infoweb.ne.jp/~fwiz0276/manifold.htm

補足

ありがとうございます。

リンクのページを見ました。テンソルに関する知識が
十分でないと、リー微分に関する正しい理解は出来な
いようですね。

そういえば、大学時代、応力テンソルって習ったよう
な気がします。応力を行列表現したものという軽い解
釈でいたんですが、リンク先のページを読むとテンソ
ルってもっと奥が深いようですね。

もう一度、昔のテキストを引っ張り出して、勉強して
みたいと思います。リー微分まで遠い道のりになりそ
うです（笑）。

回答No.1

zzzzzz

Lie微分は関数に対する微分の拡張で、テンソル場に対する微分です。
直感的と言えるかどうかは分かりませんが、
ベクトル場XでのKのLie微分の結果は、Xの1-parameter変換群でKがどのくらい動くか、を表します。
（この性質だけでは特徴付けられませんが）
よりいい加減に言えば、ベクトル場X,Yを、各点で「矢印」が定まったものとして考えた場合、
Yの矢印をXの矢印の流れに従って流した時に、流した先にあったYの矢印とどのくらいずれているか、を表します。

補足

早速の回答ありがとうございます。

> ベクトル場XでのKのLie微分の結果は、Xの1-parameter変
>換群でKがどのくらい動くか、を表します。

１パラメータを時刻、Kをベクトル空間における値、
変換群を演算子として考えると、たとえば、時刻tに対
して連続に変化する演算子A(t)を考え、同様にｔが若
干変化した演算子A(t+dt)を考えると、y1=A(t)x　と
y2=A(t+dt)xを計算した場合、Lie微分はy1とy2の差で
ある、という解釈でよろしいのでしょうか？

全く見当違いかもしれませんが・・・