確立の問題で困っています。

質問

252個の升に30個のボールをランダムに投げたとき、升にボールが2個以上入る確立は？また、3個以上入る確立、4個以上入る確立は？それぞれ求めよ。ただし、ボールは必ずどれかの升に入るものとする

回答No.4

kony0

#2のUKYさんの回答と一緒で、３個以上入る確率を求めるのってすごく難しいんですよねぇ。たぶんExcelで表計算か、プログラミングで配列変数かを用いて解かないとできないのではないでしょうか？筆記試験の問題とは思えません。（計算のバカデカさから言っても^^;）

では、唐突に回答。ただし「３個以上」バージョンだけ。

a個のボールを投げたときに、「どの升にも３個以上は入っていなく、かつ２個入っている升がちょうどb個ある」という確率をP(a,b)とする。

まず、すぐにわかる初期条件として、
P(a,0)=252Pa / 252^a
P(0,0)=P(1,0)=1
P(0,b)=P(1,b)=0 for all b>=1
P(2,1)=1/252, P(2,0)=251/252, P(2,b)=0 for all b>=2

漸化式として、
P(a,b)=P(a-1,b)*(253-a+b)/252 + P(a-1,b-1)*(a-2b+1)/252
（実際に必要な初期条件は、P(a,0)=252Pa/252^a, P(0,b)=0 for b>=1のみとなります）

これをPCかなにかで数値的に解くとして、「３個以上入る確率」は、1-Σ(b=0,1,...,15)P(30,b)=約0.0577434（b>15では明らかにP(30,b)=0です）

このような漸化式の解法をとったのは、「ボールを１つずつ投げ入れていく状況」を思い浮かべたものです。
漸化式の式の意味は、以下のとおり。
P(a,b)とは、a個投げたときに、「２個入っている升がb個、１個入っている升がa-2b個、残りの252-a+b個の升にはボールが入っていない」という確率で、「どの升にも高々２個しか入っていない」という現象を「でも２個入っている升の個数によって、次の（a+1個目のボールの）入れ方が違う」ので場合分けしたものです。ちなみに、「高々２個しか入っていない」というのを考えたのは、余事象を捉えるという趣旨です。
さて、P(a,b)を考えるには、「すでにa-1個のボールを投げていて、いまからa個目のボールを投げますよ」という状況を思い浮かべてください。このボールの行き先として、まず当然に、すでに２個入っている升には投げ入れることはできない。（いま余事象を考えてますから）
じゃあ、ボールの入っていない升かボールが１個だけ入っている升を狙うことになりますが、
・ボールの入っていない升を狙うのは、「２個入っている升がb個ある状況」のとき（確率P(a-1,b)）で、このとき、a個目のボールを入れるべき空の升は252-b-(a-1-2b)=253-a+b個ある。252個の升のうち、これだけの升を狙って入る確率を考える。
・ボールの１個入っている升を狙うのは、「２個入っている升がb-1個ある状況」のとき（確率P(a-1,b-1)）で、このとき、a個目のボールを入れるべき「１つだけ入っている升」はa-1-2b個ある。
というものです。

同じような考えで、４個以上入る確率も求められるとは思いますが、３次元配列になって面倒なのでやめ。(^^;)

お礼

kony0さん

回答ありがとうございました。

考え方まで詳細に記述していただき、感謝・感謝です。
ほんとうにありがとうございました。