力学 エネルギー保存則

質問

☆もんだい☆
Ｐ（質量ｍ）とＱ（質量Ｍ）を糸で結び、滑車を介して傾角30度の斜面にＱを置いて静かに放した、Ｑが距離Ｌだけ滑り降りたときの速さｖは？（斜面のどう摩擦係数はμと与えられています）

状況としては　／|←こういう形のところの一番上の頂点に滑車が着いていて、斜面にPが置かれていて、Qは右側にたれさがっているという感じです。

ここで解説の式を見ると、Qの失った位置エネルギー＝PQの運動エネルギーの増加、Pの位置エネルギー増加、摩擦熱←これも発生したものだから（＋する）
と変換されたエネルギーすべてを足しています。

このように位置エネルギーを元に考えればよかったのですが、初め自分は運動エネルギーから考えてしまいました・・・。　
そこで、QとPの運動エネルギーになったときには摩擦が発生していて、位置エネルギーが変化したのだから、
QとPの運動エネルギーの和←ここではQ,Pは同じ速さで運動するからｍ＋Mとして運動エネルギーの式にして

これは斜面を下がったのだから、Qの位置エネルギーが減少して、Pが増加と考えました。
でも答えの式の一部に（１－√３×μ）というのが含まれているのです。

自分の考えでは、運動エネルギー＝摩擦＋位置エネルギーの変化だったので、（μ√３－１）が含まれる式になってしまい、（　）の中身が逆になってしまいました。

解答では、摩擦が負の符号になっています。
自分が立てた式からすると運動エネルギーに含まれているvを　ｖ＝の式にしたいから、vにかけられているものを右辺の分母に持ってくるので、右辺の符号の変化はありません。

なんかまとまりの無い文章ですみませんが、考え方の間違っているところを指摘していただければとおもいます。よろしくおねがいします

回答No.3

F_P_E · ベストアンサー

先ほどのものです。

Ｑが斜面にあり、Ｐが垂れ下がっているものとして、答えていきます。

あなたの間違いはおそらく

”運動エネルギー＝摩擦＋位置エネルギー”

と考えたことでしょう。これではなく、正しくは

”運動エネルギー + 摩擦＝位置エネルギー”

ですね。結局あなたのテキストと同じ考えになってしまいましたけど。。。

さて、さきほども申し上げましたが、このように考えてみてはどうでしょう。

Ｐ、Ｑのはじめの位置をＸｐ、Ｘｑとし、Ｐ，Ｑが速度ｖで動いている瞬間の位置をＹｐ、Ｙｑとでもしましょう。Ｐ，Ｑの位置エネルギーの基準点はＸｐ、Ｘｑにとります。このとき、Ｐ、Ｑが動きはじめる前（Ｐ，ＱがＸｐ、Ｘｑにいるとき）のエネルギーＥは

Ｅ＝（Ｐの運動エネルギー）＋（Ｑの運動エネルギー）＋（Ｐの位置エネルギー）＋（Ｑの位置エネルギー）
＝０＋０＋０＋０

となります。最初の2項はｖ＝０から来るものです。また、最後の2項はＰ，Ｑが位置エネルギーの基準点にいるためです。

さて、手を離して、Ｐ，Ｑが動き始めました。速度ｖになった瞬間を考えましょう。このとき、Ｐは基準点からＬだけ上昇したので位置エネルギーは＋mgLです。また、Ｑは基準点からL＊sin(30°)だけ下降したので位置エネルギーは-MgL＊sin(30°)です。また、摩擦力はμMg*cos(30°)ですね。したがってこのときの全エネルギーＥ’は

Ｅ’＝（Ｐの運動エネルギー）＋（Ｑの運動エネルギー）＋（Ｐの位置エネルギー）＋（Ｑの位置エネルギー）＋（発生した摩擦による熱エネルギー）
＝1/2*m*v^2 + 1/2*M*v^2 + (+mgL) + (-MgL＊sin(30°)) + μMg*cos(30°)*L

エネルギー保存から

Ｅ＝Ｅ’

⇒

0 = 1/2*m*v^2 + 1/2*M*v^2 + (+mgL) + (-MgL＊sin(30°)) + μMg*cos(30°)*L

このように考えてみてはどうでしょう。あとはこの式をいじったり、項を右へ左へ動かしてみれば、テキストの解答と同じ式になるはずです。

がんばってください。

お礼

動き始める前のエネルギーを０にするってのはいいですね。アリガトウございました！
こうすれば変な間違えは減りそうです。たすかります！

回答No.4

noname#40706

物体はなぜ速くなったのですか。それはＱが位置エネルギーを犠牲にしたからです。なぜ摩擦熱が発生したのですか。それもＱの位置エネルギーが減ったからです。Ｐはなぜ上昇したのですか。やはりＱのおかげなのです。これが解説者の言いたかったことです。ただしここでＱの失った位置エネルギー＝となっていますがこの値はプラスで考えていることに注意をしてください。
あなたの考えた式は　　運動Ｅ＝摩擦＋位置Ｅですね。これでは摩擦が大きくなるとさらにスピードアップしてしまいます。これはまずいでしょう。つまり摩擦は運動エネルギーを減らすのです。というか　位置エネルギーが１００％運動エネルギーに効率よく変換できず、熱となって消えてしまうと考えたらよいと思います。力学的エネルギー（運動＋位置）は保存されません。熱も含めたら保存則は成り立っています。失った位置エネルギーは運動エネルギーの増加と熱の発生に役立ったということです。

お礼

そうですよね！摩擦がふえるのに速くなるっていうことは常識的におかしいですよね。式で納得するより、こうした感覚で納得できるとすごいすっきりします。
ありがとうございました！

回答No.2

ht1914

解説のようにやってもあなたのようにやっても同じになるはずです。主語が位置エネルギーでも運動エネルギーでも同じです。ただそれにつじつまが合うようにきちんと他の量を表現しないといけません。符号が違ってきたというのはその辺で混乱が起こっているからでしょう。

質問の文章の第１段落と第２段落でもＰとＱが混乱していますね。第１段落ではＱが斜面の上にあります。第２段落ではＱが垂れ下がっています。「傾角３０°」というのも曖昧です。普通は「水平に対して３０°」のように「～に対して」という表現をします。
この辺がはっきりしないと私にも答えようがないのです。一度問題を整理し直してみて下さい。丁寧に解答も作り直してみて下さい。和をとるのか差をとるのかが違っているかもしれません。きちんと整理していくと自分でも間違いの理由がわかってくると思います。自分で間違いがわかるというのが一番いいことだと思います。

お礼

そうですね、やり方が違っても同じにならなきゃいけませんもんね。　ありがとうございました。
すみません、ＰとＱは逆になってしまいました。
文章は問題文まるうつしなのですが、あいまいだったので、イメージを書いたわけですが、そのＰとＱが逆に取り違えてしまってよけい意味分からなくなってしまいました・・・すみません。

回答No.1

F_P_E

はじめまして。

答える前にまず、質問の内容が矛盾しているような気がします。Pが斜面にあるのか、Qが斜面にあるのか。どちらでしょうか?

この問題は、要はエネルギーの保存を式にしろ、ということです。エネルギー保存とは(難しくいうと)時間に対して対称性があるということです。ですから、

"QとPの運動エネルギーになったときには摩擦が発生していて、位置エネルギーが変化したのだから。。。"

とか、考えるよりも、

(P(もしくはQ)が動く前(つまりv＝0)の全エネルギー)＝(P(もしくはQ)が速度vの状態での全エネルギー)

という等式を考えて、それぞれの状態での運動エネルギーや位置エネルギーを考えて行けばよいでしょう。

PとQの矛盾を訂正されてから、もう少し詳しくお答えしたいと思います。