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2つの円に接する線の接点の座標の求め方

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お礼率 42% (3/7)

2つの円に接する線の接点の座標が知りたいです。
円の半径、中心座標はわかります。
どういう式にすれば出るのでしょうか?

数学はまったくわからないので、簡単な式でできるだけお願いします。
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回答 (全4件)

  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 30% (2593/8599)

直接の答えでなくてごめんなさい。 簡単な式で説明するのは結構難しそうです。 2つのエンがかなり離れていれば、条件に合う接線は4本も引けてしまいます。 と言う事はなかなか厄介です。 ...続きを読む
直接の答えでなくてごめんなさい。
簡単な式で説明するのは結構難しそうです。
2つのエンがかなり離れていれば、条件に合う接線は4本も引けてしまいます。
と言う事はなかなか厄介です。
補足コメント
yayo84

お礼率 42% (3/7)

円同士は近くにあります。円と円にクロスした接線にはなりません。
(4本ってそういうことですか?)

円Aから円Bは、45度くらいの斜め上にあると考えて、円の上の方を接線が通る
としたらできますか?
投稿日時 - 2002-03-05 23:31:37


  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 60% (182/303)

中心(a,b)、半径rの円の方程式および中心(c,d)、半径sの円の方程式は (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 …(1) (x-c)^2+(y-d)^2 = s^2 …(2) となりますね。(a,b,r,c,d,sはすべて実数)、 直線の式を y = px+q (p,qは実数、y軸と平行の場合は別に考える)として、 (1)と(2)の式に代入して変形すると (p^2+1)x^2 + 2 ...続きを読む
中心(a,b)、半径rの円の方程式および中心(c,d)、半径sの円の方程式は
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 …(1)
(x-c)^2+(y-d)^2 = s^2 …(2)
となりますね。(a,b,r,c,d,sはすべて実数)、
直線の式を y = px+q (p,qは実数、y軸と平行の場合は別に考える)として、
(1)と(2)の式に代入して変形すると
(p^2+1)x^2 + 2(q-b-a)x + a^2+(q-b)^2-r^2 = 0 …(3)
(p^2+1)x^2 + 2(q-d-c)x + c^2+(q-d)^2-s^2 = 0 …(4)
となって、(3)と(4)の2次方程式がともに重解を持つから、各々の判別式 = 0
とすれば、pとqの連立2次方程式となり、pとqの組が求められます。
※2つの円の位置により、pとqが0~4通りの組み合わせとなります。
求めたpとqを(3)または(4)に代入して、2次方程式の解を求めて、
直線の式に代入すれば、接点の座標が求められます。
補足コメント
yayo84

お礼率 42% (3/7)

回答ありがとうございます。
2次方程式はいつか習ったような・・
ですが、解き方がわかりません・・

せっかく教えていただいたので勉強します。
投稿日時 - 2002-03-06 13:28:39
  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 30% (2593/8599)

No.1のymmasayanです。 > 円同士は近くにあります。円と円にクロスした接線にはなりません。 (4本ってそういうことですか?) そうです。接したり重なったりしていなければどんなに近くても4本出来てしまいます。 > 円Aから円Bは、45度くらいの斜め上にあると考えて、円の上の方を接線が通るとしたらできますか? どういう位置関係にあっても同じです。No.2の方が回答されて ...続きを読む
No.1のymmasayanです。

> 円同士は近くにあります。円と円にクロスした接線にはなりません。
(4本ってそういうことですか?)

そうです。接したり重なったりしていなければどんなに近くても4本出来てしまいます。

> 円Aから円Bは、45度くらいの斜め上にあると考えて、円の上の方を接線が通るとしたらできますか?

どういう位置関係にあっても同じです。No.2の方が回答されているように、結構複雑な計算が必要です。
お礼コメント
yayo84

お礼率 42% (3/7)

あ、そうですね。4本だ。

でもやらなくてはいけないので、複雑でもがんばります!
ありがとうございます。
投稿日時 - 2002-03-06 13:35:13
  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 40% (54/135)

図形で考えるとちょっとらくかも。 (1)2つの円の中心を結ぶ直線qを考えます。 (2)求める接線はこの線に対して鏡写しのものがあるので 本質的には2つみつければよいことがわかると思います。 その二つの線をa,bとします。 (3)qとa,bの交点をA、Bとして、 接点と中心とA,Bがそれぞれつくる3角形を考えれば その3角形が相似であることがわかります。 (4)(3)は円の間 ...続きを読む
図形で考えるとちょっとらくかも。

(1)2つの円の中心を結ぶ直線qを考えます。

(2)求める接線はこの線に対して鏡写しのものがあるので
本質的には2つみつければよいことがわかると思います。
その二つの線をa,bとします。

(3)qとa,bの交点をA、Bとして、
接点と中心とA,Bがそれぞれつくる3角形を考えれば
その3角形が相似であることがわかります。

(4)(3)は円の間の距離は決まっているので
3角形の相似の関係から
交点A,Bがきまる(それぞれの中心からの距離が決まる)
ということを意味しています。

(5)ところで今考えている3角形は直角三角形なので
半径と中心からA、Bまでの距離が決まれば
3角形の形がきまります
(というか、接点が円の中心からどの方向にあるか決まります。)

定規とコンパスで作図できると思いますが、
数値的に求めたい場合は、比の計算と、
三角関数(逆関数)を計算する必要があります。
(関数電卓があれば簡単にできると思います。)
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