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線形代数の写像の問題
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こういう問いは必要条件から攻めるのが定跡です。まったく歯が立たないのなら、せめて適当に思いついた全単射gに対して条件が成り立つためには何が必要なのか考えてみてください。そうすると手がかりがつかめるというものです。 この場合、aを0以外の定数として、g(x)=x+aなる全単射を考えましょう。fg=gfは実は{f(x+a)-f(x)}/a=1を意味します。簡単な式変形です。これは要するにfは微分可能であって、f'(x)=1を意味します。結局f(x)=x+cという形をしていることが分かりますね。 まだ求める答えに一致していませんから、さらに別の全単射を考えます。g(x)=2xとでもしましょう。そうすれば(fg)(x)=2x+cだし、(gf)(x)=g(x+c)=2x+2cとなりますね。一致するためにはc=0でないとダメですよね。
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頭の運動としては面白そうですが、題意が読めないもので反問させてください。 fが恒等写像なら fg = gf は自明ですから「fは恒等写像になることを示」せというのは、「恒等写像しかない ことを示せ」ということでしょう。 見出しにこだわって「線形」写像の話だとすると、「恒等写像しかない」とはいえません。 また、写像f にも双射(bijection)であるという限定をつけないと駄目のようです。 乱取り(brain storming)の問題として取り組むほど脳力はないので、まずはお伺いだけで失礼。
補足
この問題は、大学一年の「ベクトルと行列」という教科書の行列式の中の「写像と群」の問題です。自分は高校まで数学に自信があったのですが、最近大学の数学に戸惑っているので、質問しました。 おそらく、178tallさんがおっしゃるような >>見出しにこだわって「線形」写像の話だとすると、「恒等写像しかない」とはいえません。 また、写像f にも双射(bijection)であるという限定をつけないと駄目のようです。 ことは、考えなくてよいと思います。そこまで考えると、僕はパンクします笑。
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