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保存力とポテンシャルについて。
力Fx=f(x,y),Fy=g(x,y)について、ポテンシャルを(0,0)→(x,0)→(x,y)の経路に沿って求めるにはどうすればいいのですか?また保存力であることを示すにはどうすればいいのですか？わかる方がいれば教えて下さい。
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U=-∫F・dr=-∫(Fxi＋Fyj)・(dxi＋dyj) =-∫Fxdx＋Fydy=-∫fdx＋gdyです。 (0,0)→(x,0)→(x,y)という経路で積分するには、 まずx軸にそってxまで積分、次にその(x,0)点からy軸にそって(x,y)まで積分しますから、x軸に沿う積分ではdy=0,y軸に沿う積分ではdx'=0と置けばいいです。 また、x軸に沿う積分ではy'=0をFxに代入,y軸に沿う積分ではFyにx'=xを代入して積分を行います。 なお、紛らわしいので積分変数にはダッシュをつけさせてもらいました。(0,0)→(x,0)→(x,y)のxとyは定数ですが、f(x,y)やg(x,y)のなかのxとyは変数だからです。結果は -∫f(x',0)dx'[x'=0～x]-∫g(x,y')dy' 保存力であることを示すには、別の経路で(0,0)→(x,y)まで積分したものが、ご質問の経路と等しくなる ことを示せばいいです。保存力のする仕事は、経路によらないからです。例えば(0,0)→(0,y)→(x,y)とか。
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- grothendieck
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二つの経路C1とC2に沿った線積分が等しいということは、C1と -C2を合成してできる閉曲線に沿った線積分が0になるということです。 ∫c(Fxdx+Fydy) = 0 (cはC1と -C2を合成してできる閉曲線) グリーンの定理より ∫c(Fxdx+Fydy) = ∬(∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)dS ここで右辺は閉曲線の囲む領域上の面積分です。これが任意の領域上で成立するから ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y = 0 が保存力であるための条件です。
お礼
回答いただきありがとうございました。まだ少し格式が高いので、もう少し勉強してからこの回答の意味を理解したいと思います。
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お礼
わかりやすい説明ありがとうございました。