常用対数

質問

a,bは自然数で、a＾5×b＾5が24桁の数、a＾5/b＾5
の整数部分が16桁の数であれば、aはア桁、bはイ桁の数である。
という問題ですが、2通りの解き方をしたら、結果が違ってしまいました。
どちらも間違ってるかもしれませんが、どちらが間違っているか教えてください。もっと良い解法の仕方があったら教えて下さい。

条件より
10＾23≦a＾5×b＾5＜10＾24・・・A
10＾15≦a＾5/b＾5＜10＾16・・・B

10を底とする対数をとると
23≦5log[10](a)+5log[10](b)＜24
15≦5log[10](a)-5log[10](b)＜16

⇔4.6≦log[10](a)+log[10](b)＜4.8・・・(1)
　3≦log[10](a)-log[10](b)＜3.2・・・(2)

(1)+(2)より
7.6≦2log[10](a)＜8
3.8≦log[10](a)＜4
より、aは4桁。

(2)より
-3.2＜-log[10](a)+log[10](b)＜-3
これと(1)を辺々加えて
1.4＜2log[10](b)＜1.8
0.7＜log[10](b)＜0.9

もうひとつの解き方が
A,Bを辺々掛けて
10＾38≦a＾10＜10＾40
10＾3.8≦a＜10＾4・・・C
よってaは4桁

Cより
10＾(-4)＜a＾(-1)≦10＾(-3.8)
10＾(-20)＜a＾(-5)≦10＾(-19)・・・D
A、Dを辺々掛けて
10＾3＜b＾5＜10＾5
10＾0.6＜b＜10
となってしまい最初の答えと違ってしまいました。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

どちらも正しいです。
問題で聞いているのは、a,bの桁数ですので、どちらの解き方でも同じ答えになりますよね。

ただ、質問の趣旨は、
>0.7＜log[10](b)＜0.9
>10＾0.6＜b＜10
のようにbの範囲が異なる理由だと思いますので、その理由についても答えておきます。

簡単に言うと、bが、
>10＾0.6＜b＜10
の全ての範囲をとりうるのかを考えてないからです。

>10＾0.6＜b＜10
は「必要条件」みたいなもので、「必要十分条件ではない」という事です。

いい加減な書き方をしますが、

>10＾3.8≦a＜10＾4・・・C
において、a≒10^3.8となるのは、

>10＾23≦a＾5×b＾5＜10＾24・・・A
>10＾15≦a＾5/b＾5＜10＾16・・・B
の左側の不等号がともに、≒になる時です。特にa^5×b^5≒10^23の時です。が成り立っている時です。

C式を変形しただけですので、
>10＾(-20)＜a＾(-5)≦10＾(-19)・・・D
の右側の不等号が≒になるのも、同じ条件です。

A式とD式をかけて、
>10＾3＜b＾5＜10＾5
を得たわけですから、右側の不等号が≒となるのは、
A式,D式の右側の不等号が≒となる時、つまり、
a^(-5)≒10^(-19)
a＾5×b＾5≒10＾24
の時です。

しかしa^(-5)≒10^(-19)となるのは、a^5×b^5≒10^23の時というのを先ほど確認したので、b^5≒10^5とはなりえないということになります。

従って、実は、
>10＾3＜b＾5＜10＾5
10^5の部分はもうちょっと小さな値にできるはずなんですね。同様に10^3の部分ももうちょっと大きな値にできるんです。

具体的には、
>0.7＜log[10](b)＜0.9
のように、もっと範囲を絞ることができるということです。

お礼

ご回答ありがとうございまいた。
数学はシビアな学問ですね。

回答No.1

sTOMream

えっと，前者の解答も後者の解答も，bは1桁の自然数となるので，答えはどちらも合っていると思います．

で，何故こんな違いが起こるかというと，

前者の解答では，
10＾23≦a＾5×b＾5＜10＾24・・・A
10＾15≦a＾5/b＾5＜10＾16 ・・・B
を変形してbの式に変形していたのに対し，

後者の解答では，
10＾23≦a＾5×b＾5＜10＾24・・・A
10＾3.8≦a＜10＾4 ・・・C
を使ってbの式に変形していたからと思われます．

試しに，前者の解答で3.8≦log[10](a)＜4を使ってみれば，後者の解答と同じになりますし，

また，後者の解答で10＾15≦a＾5/b＾5＜10＾16を使えば，前者の解答と同じになります．

ちなみにどちらの解答も対数を使っているか，いないかの違いだけで，式変形自体はどちらも同じです．

お礼

夜分遅くにありがとうございました。
おかげさまでスッキリしました。