OKWAVEのAI「あい」が美容・健康の悩みに最適な回答をご提案!
-PR-
締切り
済み

曲面積

  • 困ってます
  • 質問No.221761
  • 閲覧数62
  • ありがとう数3
  • 気になる数0
  • 回答数1
  • コメント数0

お礼率 51% (16/31)

曲面Sをr(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k [i,j,kは単位ベクトル]として、ベクトルru=@x/@u(u,v)i+@y/@u(u,v)j+@z/@u(u,v)k,rv=@x/@v(u,v)i+@y/@v(u,v)j+@z/@v(u,v)kとしたとき、面素が△Sが、||(△ui)ru×(△vi)rv||と表せるのは何故でしょうか。(面素の平行四辺形の辺がそれぞれ、、(△ui)ruと(△vi)rvとで表せるという事。)どなたか、教えて下さい。
通報する
  • 回答数1
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 75% (28/37)

 だいぶ長い間回答がなかったようですが、問題の内容が うまく伝わっていないためではないかと思います。私も問題 をきちんと解釈できたか自信はないです。参考程度と言う ことで、考え方だけ示します。  (u,v)面にdu、dvの間隔で線を引いてできる長方形 が面素になると思います。これを、  x=x(u,v)  y=y(u,v)  z=z(u,v) で(x,y,z)空間に変換すると曲面がで ...続きを読む
 だいぶ長い間回答がなかったようですが、問題の内容が
うまく伝わっていないためではないかと思います。私も問題
をきちんと解釈できたか自信はないです。参考程度と言う
ことで、考え方だけ示します。

 (u,v)面にdu、dvの間隔で線を引いてできる長方形
が面素になると思います。これを、
 x=x(u,v)
 y=y(u,v)
 z=z(u,v)
で(x,y,z)空間に変換すると曲面ができるので、(u,v)面上の
長方形がこの曲面上でどう変形されるかを見てみます。
(u,v)面上に面素の3点を考えます。
 P0 (u,v)
 P1 (u+du,v)
 P2 (u,v+dv)
これが(x,y,z)空間でQ0、Q1、Q2に変換されたとします。
すると、
 Q0 (x,y,z)
 Q1 (x+(@x/@u)du,y+(@y/@u)du,z+(@z/@u)du)
 Q2 (x+(@x/@v)dv,y+(@y/@v)dv,z+(@z/@v)dv)
(u,v)面上の長方形は(x,y,z)空間で平行四辺形になります
ので辺Q0-Q1と辺Q0-Q2で作られる平行四辺形が(x,y,z)空間
での面素と言うことになります。この2つの辺をベクトル
で表す(@は偏微分記号を表す)と、
 q1=((@x/@u)du,(@y/@u)du,(@z/@u)du)
 q2=((@x/@v)dv,(@y/@v)dv,(@z/@v)dv)
これをベクトルr:
 r=(x,y,z)
を使って表すと
 q1=(@r/@u)du=rudu  (ru=@r/@u)
 q2=(@r/@v)dv=rvdv  (rv=@r/@v)
大きさがこのベクトルで作られる平行四辺形の面積で、方向
がこの面に垂直なベクトルは
 q1×q2
で表されるので結局(x,y,z)空間での曲面の面素は
 dS=||q1×q2||
  =||rudu×rvdv||
と表されることになります。

 最終的な形が質問者の示した、
 ||(△ui)ru×(△vi)rv||
と異なりますが、このiがなければ一致します。


このQ&Aで解決しましたか?
関連するQ&A
-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


いま みんなが気になるQ&A

関連するQ&A

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ