算数的な問題

質問

算数的な問題だと思うのですが、よろしくお願いします。

―問題―
６円切手と７円切手がたくさんあります。
Ａ子さんはこの２種類の切手でいろいろな金額の代金を支払うことにしました。
ところが、何枚使ってもどうしても支払えない金額があることに気付きました。
それはどんな金額でしょうか、すべての場合をあげなさい。

どうしても支払えない金額と考え方をお願いします。

回答No.3

tiezo- · ベストアンサー

６円切手の枚数をｘ枚　７円切手の枚数をｙ枚とする
金額は　６ｘ＋７ｙ　円となる
　ｙ＝０とすると金額は６ｘ　　円となり
　　（６の倍数）の金額は払えます
　ｙ＝１とすると金額は６ｘ＋７円となり
　　（６の倍数＋１）の金額で払えないのは　１円です
　ｙ＝２とすると金額は６ｘ＋１４円となり
　　（６の倍数＋２）の金額で払えないのは　２、　８円です
　ｙ＝３とすると金額は６ｘ＋２１円となり
　　（６の倍数＋３）の金額で払えないのは　３、　９、１５円です
　ｙ＝４とすると金額は６ｘ＋２８円となり
　　（６の倍数＋４）の金額で払えないのは　４、１０、１６、２２円です
　ｙ＝５とすると金額は６ｘ＋３５円となり
　　（６の倍数＋５）の金額で払えないのは　５、１１、１７、２３、２９円です
このように考えてはどうでしょうか？
また、少なくとも一枚ずつ使うとするともっと面白くなりそうですね。

お礼

計算によってわかりやすく説明していただきありがとうございました。
とても助かりました。

回答No.2

prome

初等整数論で解けそうな問題ですが、私は知識がないので原始的にやってみます。
ymmasayanさんが書かれた
「６円をＮ枚と７円をＮ枚の間は（６円と７円の入れ替えで）必ず支払えます。」
はかなりのヒントです。

まず、
　　６　～　　　７　　・・・（１）
２×６　～　２×７　　・・・（２）
３×６　～　３×７　　・・・（３）
４×６　～　４×７　　・・・（４）
５×６　～　５×７　　・・・（５）
６×６　～　６×７
７×６　～　７×７
８×６　～　８×７
　・　　　　　・
　・　　　　　・
　・　　　　　・
を考えます。この範囲の金額は６円切手と７円切手で支払えるのです。
例として３×６～３×７の範囲を考えます。
３×６＝１８円はもちろん６円切手３枚でＯＫ。
３×７＝２１円ももちろん７円切手３枚でＯＫ。
その間の１９，２０円は６円切手３枚のうち、それぞれ１，２枚を７円切手に
入れ替えることで支払えます。他の範囲も同様です。

すると支払えない金額はこの範囲以外の中にあるはずです。
この範囲は一見無限にあるように見えますが、
式（５）以降は各範囲の間に空きがないか、もしくはオーバーラップしています。
つまり式（５）以降の無限個の式から、３０円以降には支払えない金額はない
ことがわかります。

したがって２９円までの「有限個」の金額で、式（１）から（４）以外の範囲の
金額について、一つ一つしらみつぶしに調べていけばいいわけです。

答えはymmasayanさんが書かれた通りです。

「しらみつぶしに」といっても、残った
１，２，３，４，５，８，９，１０，１１，１５，１６，１７，２２，２３，２９
がすべて支払えない金額ですから、判定方法というか、解法が他にもあるかも
しれませんが、思いつきません。

お礼

自分で数表を作ってこの説明を考えてみたらとてもわかりやすかったです。
どうもありがとうございます。

回答No.1

ymmasayan

まず、５円以下は無理ですね。（５種類）
次に８円から１１円までが無理ですね。（４種類）
その次は１５円から１７円がだめですね。（３種類）
次が２２円と２３円（２種類）
最後に２９円（１種類）

合計１５種類がだめです。正確な理論は別として、
６円をＮ枚と７円をＮ枚の間は（６円と７円の入れ替えで）必ず支払えます。
６円切手で払えない金額は６円刻みで５種類あります。きっての枚数が１枚増えるごとに払える幅が１種類づつ減っていきます。

従って、５＋４＋３＋２＋１＝１５種類と言う事でしょうね。