ベクトルの引き算の矢印の起点

質問

ある教科書では、根元と根元を合わせて。引き算のベクトルの矢頭から元のベクトルの矢頭へ向かって、矢でベクトルをあらわしていましたが、ある問題集の回答では答えのベクトルは二つのベクトルの重なった根元（原点）から出発したベクトルでした。答えのベクトルの起点を指定されてない限り、向きと大きさが同じならどこに書いても正しいのでしょうか。また標準的な回答としてはどこを起点にするものでしょうか。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

どちらでも良く、また、
どちらを標準的と定めるかは、あなたの好みです。
すなわち、流派の違いです。

それでは、具体的に、
ａ→　＝　ＯＡ→
ｂ→　＝　ＯＢ→
という２つのベクトルの引き算を考えましょう。

すなわち、
Ｘ→　＝　ｂ→　－　ａ→
となるベクトル　Ｘ→　を求めることになります。

１．
前者の手法では、
ｂ→　－　ａ→
　＝　ＯＢ→　＋　ＡＯ→
つまり、Ｘ→　は、図解で一発で解けます。
なぜならば、Ｂを起点に、ａ→と逆方向に長さがＯＡの線を引けば、そこが点Ｘの場所（原点Ｏから見て、ベクトルＸ→）ですから。

また、
Ｘ→　＝　ｂ→　－　ａ→
なのですから、
Ｘ→　＋　ａ→　＝　ｂ→
であり、
点Ｘを起点にａ→だけ行った場所が点Ｂ、
あるいは、
点Ａを起点にＸ→だけ行った場所が点Ｂ、
というふうに、図で理解できます。

つまり、「漫画チック」に理解できます。（私は、こっちのやりかたの方が好き。）

２．
後者の手法では、元々ａ→とｂ→との始点を統一したとき、
ａ→と逆方向のベクトルＡＯ→を始点がＯとなるように（ＡをＯに平行移動して）図中に手で書き加えれば、ＡＯ→とＯＢ→とが作る平行四辺形の、原点から見て遠い頂点がＸ→になります。

この考え方は、見た目分かりにくいのですが、後々、物理学を学ぶ人にとっては、むしろ、こちらの方が自然かもしれません。
たとえば、坂道を滑り降りる物体にかかっている力（垂直抗力など）や、その物体の運動を考えるときには、必ず出てくる手法です。

ただし、
物理学でも、前者の手法のほうが分かりやすくなる場合もあります。
例えば、
非常に基本的な問題の一つである、光の進路の問題では、
「なぜ光は（大体）まっすぐ進むのか」
ということのイメージをつかむためには、実は、前者の手法のほうが分かりやすいです。
ちなみに、このときベクトルというのは、光の「位相」です。
（量子力学の話になりますが）

以下は、無駄話です。
-------
上記で、わざわざ
「大体まっすぐ」
と書いた理由は、実は、光源から発せられる光を別の地点から人が見た時、その人にとって光がやってくる方向は、たとえ真宮中であっても正確に１点だけではなく、まるで間に凸レンズを配置したかのごとく、ちょっと曲がった方向からやってくる成分も見える、ということです。（ちょっと難しい話なんですが）
これは、沢山のベクトルの足し算をするとき、前のベクトルの終点から書き足していったほうが、図解として分かりやすいんです。

回答No.4

freedom560

マイナス方向のベクトルを考えるときには

(1) そのままの場所で向きだけ変えたほうがわかりやすい　つまり、（○←●　○）が（○→●　○）になる方がわかりやすい

人もいるだろうし、

(2) 始点は一緒にして向きを反対方向にした方がわかりやすい　つまり、（○←●　○）が（○　●→○）になる方がわかりやすい

人もいると思います。

これらの２つは当然向きも大きさも同じ（始点だけが違う）ので、同じベクトルです。マイナスのベクトルの向きさえひっくり返してしまえばあとはベクトルの足し算です。たぶん(1)の方がわかりやすい人はあなたが書いた前者の答えを書くだろうし、(2)の方がわかりやすい人は後者の答えを書くでしょう。

つまり、この答えはあなた自身の「マイナス方向のベクトルの理解」にかかっているといってもよいでしょう。まぁ、両方の考え方があるということを知っていた方がより応用が利くとは思いますが。（答えのベクトルをそれぞれ平行移動したら同じものができることを知っておくのもよいでしょう）

長所短所はNo.2さんが書かれているように物理のような応用問題を考えるときにはあるでしょうが、まぁ、まだベクトルを習いたてだと思いますので、まずは(1)と(2)のどちらがわかりやすいか考えてみてください。

回答No.3

ymmasayan

No.1です。

>　それぞれの長所短所を教えて下さい。

結果だけ知りたいときは原点から書くと向きと方向が判りやすい。
どうしてそうなったかを知りたいときは矢の先に書いたほうがいい。
ということです。

余談ですが平行移動して２つ共書く場合もあります。

回答No.1

ymmasayan

ベクトルは向きと大きさしか持たず、位置は無関係ですのでどこに書いても構いません。

一般には原点から書く場合と矢印の先に書く場合のどちらかです。

補足

ありがとうございます。それぞれの長所短所を教えて下しさい。