絶対値の大小の問題について

質問

実数a,bについて
||a|-(a+b)|<|a-|a+b||
　　　が成立するとき、a,-a,b,-b,０を大小の順に並べよ。

という問題で、与式を二乗するところまではわかるんですが、そのあとがどうすればいいのかわかりません。
答えは　　
　　b>-a>０>a>-b
となります。
どなたかそうなる過程を教えてください。
お願いします。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

与式を二乗するとa|a+b|<|a|(a+b)(1)
a=0とすると0<0で矛盾。a≠0として(1)式を|a|で割り(a/|a|)|a+b|<(a+b)(2)

a>0とする。
(2)は|a+b|<a+b。a+b>=0とすると0<0矛盾。従って残りはa+b<0だが、このとき-(a+b)<a+bで、これは2(a+b)>0でまた矛盾。

したがってa<0とする。
(2)は-|a+b|<a+b。a+b<=0とするとa+b<a+bで矛盾。このため
a+b>0とすると(2)は-(a+b)<a+bすなわち、0<2(a+b)で矛盾はない。

ゆえに、a<0とa+b>0すなわち、0>a>-bとなる。この式を操作すれば残りも得る。

お礼

ありがとうございます。場合分けはしていたんですが、それでもわからなくって・・・
でも(1)式から(2)式にすることでわかりました。
ありがとうございました。

回答No.1

hitomura

２乗して出てきた式を整理すると、
　|a|*(a+b)>a*|a+b|
となります。(a+b)と|a+b|では…だから…となります。
…=0だと不等号が成り立たないので、…で…できるのでそうすると、
　|a|>a
が出てきます。よって、…が言え、整理後の式は
　-(a+b)<|a+b|
となります。…だから、
　b>-a
が出てきます。…。

まことに申し訳ありませんが、教えて!Gooの規約に違反しないよう、証明を穴だらけにしました。…の部分は自分で埋めてください。