3次の対称式について

質問

高校数学を勉強しております。

対称式に関連して、
x^3+y^3+z^3=(x+y+z){x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)}+3xyz
という公式がどのようにして導かれたものなのか知りたいのですが、どなたかヒントいただけないでしょうか？

(x+y+z)^3を展開してみるなどして試行錯誤してみたのですが、どうもうまくいきません。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

eddyhead · ベストアンサー

因数分解のところで出てくる公式
　x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
から導くことが出来ます。

x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)を利用します。

(与式)=(x^3+y^3)+z^3-3xyz={(x+y)^3-3xy(x+y)}+z^3-3xyz={(x+y)^3+z^3}-3xy(x+y+z)={(x+y)+z}{(x+y)^2-(x+y)z+z^2}-3xy(x+y+z)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xu-yz-zx)

お礼

x^3+y^3+z^3-3xyzからスタートし、(x^3+y^3)+z^3-3xyzのようにとらえていくんですね！
計算してみましたが、バッチリでした！

この度はありがとうございました。

回答No.2

debut

x^3＋y^3＝(x+y)(x^2+y^2)-x^2y-xy^2
　　　　＝(x+y)(x^2+y^2)-xy(x+y)
　　　　＝(x+y)(x^2+y^2-xy) のようにするのに似ている感じ

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-x^2y-zx^2-xy^2-y^2z-yz^2-z^2x

[ここで、(x+y+z)(xy+yz+zx)=x^2y+zx^2+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+3xyzなので]

　　　　　=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-(x^2y+zx^2+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x)

　　　　　=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-{(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz}

　　　　　=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz

前２つの共通因数(x+y+z)を出して　できあがり

お礼

なるほど。一つの公式であってもいろんな導き方があっておもしろいですね！

どうもありがとうございました。

回答No.1

keyuki

少し考えてみたのですが、
x^3+y^3がx+yで割り切れることから、先人はx^3+y^3+z^3をx+y+zで割ってみたのではないでしょうか？
テキトーな答えですみません…でも一理あると思いませんか？

お礼

確かに。
そういった発想は、他の様々な問いにチャレンジする際にも有効な切り口となりそうですね！

おもしろいアイデア、ありがとうございました。