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解析に関する問題です

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  • 質問No.205889
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お礼率 32% (120/368)

f(x)=a+O(x^α)、as x→0(aは0でない、α>1)のとき、
f(x)^1/k (k∈N)に最良の評価を与えよ。
という問題です。普通に1/kしたらわけがわからなくなりました。解法を教えてください。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 64% (11/17)

別に評価するだけならテーラー展開しなくてもいいのですが
あえて多項式で評価したいという場合には
g(x)=(a-Mx^a)^1/kとおくと
g(x)=g(0)+g'(0)x/1!+g"(0)x^2/2!+・・・
という風にテーラー展開することにより多項式近似が得られます
g(0)とかg'(0)とかは実際に微分したりして0を代入すれば
求められます。
たとえばg(0)=a^1/kという風になります。
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 64% (11/17)

f(x)=a+O(x^α) as x→0 という仮定より 十分小のxに対してあるMが存在して M≧|f(x)-a|/|x|^α x>0として考えれば、 a+Mx^α≧f(x)≧a-Mx^α あとはこれを1/k乗して 必要ならばTaylor展開してみれば評価が得られます ちなみにこの評価はxの十分小さいところでのみ成り立っています またその範囲でMはxによらない定数です ...続きを読む
f(x)=a+O(x^α) as x→0
という仮定より
十分小のxに対してあるMが存在して
M≧|f(x)-a|/|x|^α
x>0として考えれば、

a+Mx^α≧f(x)≧a-Mx^α

あとはこれを1/k乗して
必要ならばTaylor展開してみれば評価が得られます

ちなみにこの評価はxの十分小さいところでのみ成り立っています
またその範囲でMはxによらない定数です
補足コメント
ikecchi

お礼率 32% (120/368)

返事遅くなってすいません。1/kしたあと、(a-Mx^a)^1/kでどうやって
テーラー展開するんですか??
投稿日時 - 2002-02-10 14:23:49


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