正五角形作図における証明

質問

正五角形の作図については多様な解があり、その証明がなされているものもあります。一方、折り紙での正五角形は折り方は二種類のみが知られていますが、どちらもその証明が不明です。下記のＵＲＬに紹介されている折り方に対して、証明をしていただけないかと思い投稿しました。よろしくお願いいたします。
1）正五角形の一辺を求める
http://genryu.cside4.com/yoshitago/kyuguza2/seigo.htm
2）角度を十等分する方法
http://homepage2.nifty.com/poyopokets/kousaku/sasa/sasa.htm

回答No.2

debut · ベストアンサー

1)証明というより説明
　　上に頂点Ａがあり、反時計回りにＢ，Ｃ，Ｄ，Ｅとある正五角形を
　　考え、１辺を√５－１とすると対角線は２
　　ＢＥ＝２で、ＣからＢＥに垂線ＣＰを、ＤからＢＥに垂線ＤＱを引く
　　と、ＰＱ＝ＣＤ＝√５－１、ＢＰ＝ＥＱ＝(３－√５)/2
　　ここで、△ＢＣＰを考えると、∠ＣＢＰ＝108°-36°＝72°
　　このことから、斜辺(ＢＣ)が√５－１で、底辺(ＢＰ)が(３－√５)/２
　　になっている直角三角形は、その挟む角が72°になるといえます。

　　さて、この折り方の４番目で√５－１を 真ん中に移動ということなの
　　で左右に余る長さは　{２－(√５－１)}/２＝(３－√５)/２　です。
　　すると、５番目の折り方のときに左に余った直角三角形は、ちょうど
　　上に述べた　72°の三角形になります。
　　つまり、折ったときに√５－１の辺で挟まれる角は 108°になると
　　いうことです。

お礼

有難うございます。
１）は、正五角形の一辺の長さａと対角長ｂの比率、ｂ／ａ＝(√５+１)／２から求めるのですね。
２）の折り方の場合は如何でしょうか？１０等分と書きましたが、折り方としては正方形対辺中央で二つ折りにした長方形の、折り返し長辺中央部を軸として１８０度の角度を五等分（元の正四方形に展開すると十等分）するものです。

回答No.3

debut

No2です。
　２）ですが、たぶん私がどこかで間違っているのか、計算が合わないの
　です。１人で考えると凝り固まってしまって、間違いが何なのかわかり
　ません。次にその考えを書いてみますので、間違いがあったら指摘して
　ください。（なんか、こちらが質問しているみたいですみません）

　ＡＢ＝２，ＢＣ＝４の長方形ＡＢＣ Ｄで、ＢＣ の中点をＯ，Ｃ Ｄの中点
　をＰ，折りたたんでＰが辺ＡＤと重なる点をＱ，そのときの折り目の線
　をＯ Ｒ（ＲはＡＤ上）とします。
　△Ｏ ＰＣ から、Ｏ Ｐ＝√５＝Ｏ Ｑ
　Ｏ からＡＤに垂線Ｏ Ｓを引くと、Ｏ Ｓ＝２、Ｏ Ｑ＝√５なので、ＱＳ＝１
　ＳＲ＝ｘとすれば、ＱＲ＝ｘ＋１で、このＱＲはＰＲと重なるのでＰＲ
　＝ｘ＋１
　また、ＤＲ＝ＳＤ－ＳＲ＝２－ｘなので、△ＰＤＲで三平方の定理を
　使って、(ｘ＋１)^2＝(２－ｘ)^2＋１^2　→　ｘ＝２/３

　さて、180°が５等分されるように分けると36°ずつ、つまり、１回目
　に折ったときの折線Ｏ Ｒが作る角∠Ｃ Ｏ Ｒが72°になるはずです。
　そして、この∠Ｃ Ｏ Ｒは平行線の錯角で∠Ｏ ＲＳと等しくなります。

　そこで、先ほどの値、Ｏ Ｓ＝２、ＳＲ＝２/３を使うと　△Ｏ ＲＳで
　tan∠Ｏ ＲＳ＝２/(２/３)＝３
　計算機で、∠Ｏ ＲＳ＝７１.５６５・・・　で７２°にならないのです。

　どこかに誤解があるのか、よくわかりません。
　答えが出なくてすみません。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
debutさんの計算に間違いはないと思います。ということは、「∠ＣＯＲが72°になるはず」という前提が成立しないことになり、この作図法は近似解ということになるのですね。"Ｏ"を中心に五分された角度を右から左へ１,２,...５とすると、１から４までは71.656/2=35.83°であり、５番目は180-71.656*2=36.69°になります。

ということで180°を五等分する作図法はまだ見つかっていないことになりますが、この問題は改めて質問したいと思います。

回答No.1

N64

1) は、正5角形の性質を使ったものではないでしょうか？もしそうなら、明らかなような気がしますが、いかが？
2) も、そのように見えますが、図が小さい上に、簡略な説明なので、よく理解できませんでした。