代数方程式について２

質問

５次以上の代数方程式には一般解の公式は存在しませんが存在しないという事を証明するのは実際に解を求めるという事に比べどういう点が困難があると思われますか
どうしても分からなくて困っているので
皆様のお力を貸してください。
よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.2

starflora · ベストアンサー

「ないことの証明」というのは、一般に、「あることの証明」よりも難しいのです。あることの証明は、一例でも、「ある」という例を示すと証明になりますが、「ないことの証明」は、何人の数学者が、五次方程式の一般代数解の公式の確定に失敗しても、証明にはならないのです。未だ、見つかっていない公式があるのかも知れない……と考えられるからです。

　　それに対し、五次方程式の解を求めることは、それほど難しいことではありません。おそらく、無限級数の形で表現でき、それ故、近似解を数値計算で、非常に高度な精度において計算できるのです。この場合、無限級数で解が表現できるということは、解は求まっているということです。代数的手順で解を求めることにはなっていませんが、解析数学的に解は求まるのです。

　　代数的解と無限級数の解では、何か違いがあるように感じられますが、実は、代数解でも、√２ などは、小数で表現しようとすると、近似解にしかなりません。それと同様に、無限級数解も、その解を具体的な数字で表現しようとすると、近似解にしかならないので、一方は、無理数の形で、他方は、無限級数の形で、解が出ているのです。

　　五次方程式の代数的一般解が存在しないことの証明は、先に述べたように、公式を造ろうとして、幾度も失敗し、成功しなかったという経験的事実からは出てきません。これは経験から、解の公式があるだろうという憶測があるので、試みるので、「公式がある」という証明は実は、元々なかったのです。そういう証明があれば、「公式はない」という証明は成立しないはずでしょう。

　　「公式があるかないか」という問題はどうやって決定できるのか。代数学のなかでは、それは決定できなかったのです。解析学のなかでも決定できなかったのです。従って、解を求めるという問題が、無限級数の形で、解析学のなかで可能であったのと違い、何か、解析学とは違う数学の理論、それも未知の理論が必要なことになります。

　　これについて、そのような数学は、「群論」であると、アーベルやガロワは考え、ガロワは、理論を具体的に構成したのです。

　　ガロワの証明は、解析学の証明ではなく、数一般が、ある類に分かれるという構想で、四則演算と、巾計算、その逆計算というような、演算をほどこしてできる数のグループと、五次方程式の解が造る数のグループが別だという証明を行い、これが、問題の証明になるのですが、明らかに、解析学とは別の新しい数学理論が必要であったということです。

　　こうして、問いの回答は記されたとわたしは考えます。

お礼

回答ありがとうございます。
素晴らしい意見で大変分かり易かったです。
数学の奥の深さを感じました(--:
まだまだ研究が必要なようです・・・・・
どうもありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

uyama33

むかし、Artinのガロワ理論を
読みました。
　たしか、その中に証明があったと思います。
自分で、ガロワ理論の本を読んでみると
どういう点が困難かはすぐわかります。

　チャレンジして下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
ガロワ理論の本は結構難しい感じでした。
自分が分からないだけかもしれませんが・・・(^^:
研究を続けたいと思います。
どうもありがとうございましたm(_ _)m