絶対値

質問

｜x-3|＋|x＋1|≦6であることは、(x^2)-2x-8≦0であるための（必要十分）

これを考え方が分かりません。

P:｜x-3|＋|x＋1|≦6である
Q:、(x^2)-2x-8≦0である

から
●|x-3|≧0のときx-3
|x-3|<0のとき-(x-3)

●|x＋1|≧0のときx＋１
　|x＋1|<0のとき-(x＋1)

●(x^2)-2x-8=0をとくと
(x-4)(x＋2)≦0
-2≦x≦4

までは分かりました。

回答No.8

debut · ベストアンサー

Ｎｏ６です。

＞－１＜ｘ≦３のとき　がよくわかりません。
＞|x-3|が－で
＞|x＋1|が＋になるのですか？
＞符号の調べ方が良くわかりません。

誤解されているかもしれないので　確認しておくと、
　・符号を調べるのは　絶対値の中にあるｘだけではなくて、
　　「絶対値の中にある式全体」です。

　　　－１＜ｘ≦３　において、｜ｘ－３｜なら　ｘ－３　全体の符号が
　　　＋になるか　－になるか　を調べるのです。
　　　ｘは－１から３までの数なら何でもいいということなので、適当な
　　　数、例えば　ｘ＝２　を　ｘ－３　に入れて計算すると　－１　に
　　　なるので　「ｘ－３は－１＜ｘ≦３では－になる」　とわかるかと
　　　思います。

　　　同様に、｜ｘ＋１｜の中の　ｘ＋１　に　ｘ＝２　を入れると３に
　　　なるので、「ｘ＋１は－１＜ｘ≦３では＋になる」　とわかります。

　　　ｘ＝２　を入れたけど、－１から３までの数なら何を入れてもかま
　　　いません。（といっても、－１と３は一方が０になるからそれ以外
　　　がよいでしょう）

お礼

ありがとうございました
代入すると分かりますね。
ありがとうございます

回答No.7

wps_2005

$5の補足に対する返事です。

>　x-3はプラスですか? マイナスですか?
>　x=3なので＋？
>　x+1はプラスですか? マイナスですか?
>　x=-1なので－？

残念ながら、あなたの考え方は合ってません。
今考えているのは、-1≦x≦3 という範囲ですよね。
この範囲の数字をいくつか x-3 と x+1 に代入してみるとわかると思いますが。

お礼

そのように考えるんですね。
ありがとうございます

回答No.6

debut

｜x-3|＋|x＋1|≦6　の見方

絶対値の中身の符号を調べると、それぞれの符号の変わり目は－１と３

　　　　　　　　・・・・－１・・・・・３・・・・　←数直線です
ｘ＋１　は　　－　　｜　＋　　｜　＋
ｘ－３　は　　－　　｜　－　　｜　＋

となります。

絶対値は、中身が＋のときはそのまま外し、－のときは－をかけて外す
から、
　１．ｘ≦－１のとき　　　｜x-3|＋|x＋1|＝-(x-3)-(x+1)=-2x+2
　２．－１＜ｘ≦３のとき　｜x-3|＋|x＋1|＝-(x-3)+(x+1)=4
　３．３＜ｘのとき　　　　｜x-3|＋|x＋1|＝(x-3)+(x+1)=2x-2

よって、１．より　-2x+2≦6　は -2≦x だから　→　-2≦x≦-1
　　　　　２．より　4≦6 は成り立つので　　　　→　-1＜x≦3
　　　　　３．より　2x-2≦6　は x≦4 だから　　→　3＜x≦4
全部合わせて　-2≦x≦4　となります。

補足

－１＜ｘ≦３のとき　がよくわかりません。
|x-3|が－で
|x＋1|が＋になるのですか？
符号の調べ方が良くわかりません。

回答No.5

wps_2005

>　-1≦x≦3のとき
>　なぜ
>　｜x-3|=-(x-3)=-x+3
>　|x＋1|=x+1
>
>　になるのですか？
>　|x-3|はマイナスがつくのですか？

とのことですが、絶対値の基本として、
|a|は、a≧0 のとき a で
　　　 a＜0 のとき -a となるのはご存知ですよね。
言葉で言えば、
・絶対値の中身がプラスか０だったら、絶対値を外しても中身そのまま
・絶対値の中身がマイナスだったら、絶対値を外したら中身にマイナスをつけたものになる
ということですが。

さて、ご質問の、-1≦x≦3のとき
x-3はプラスですか? マイナスですか?
x+1はプラスですか? マイナスですか?

落ち着いて考えればそんなに難しくないと思いますが。

補足

x-3はプラスですか? マイナスですか?
x=3なので＋？
x+1はプラスですか? マイナスですか?
x=-1なので－？

回答No.4

freedom560

No.3です。
すみません。ずいぶん計算ミスしてました・・

x＜-1のとき
｜x-3|=-(x-3)=-x+3
|x＋1|=-(x+1)=-x-1
-x+3-x-1≦6よりx≧-2
∴-2≦x＜-1

-1≦x≦3のとき
｜x-3|=-(x-3)=-x+3
|x＋1|=x+1
4≦6は常に成り立つ
∴-1≦x≦3

3＜xのとき
｜x-3|=x-3
|x＋1|=x+1
x-3＋x＋1≦6 よりx≦4
∴3＜x≦4

つまり｜x-3|＋|x＋1|≦6　の解は-2≦x≦4です。

補足

-1≦x≦3のとき
なぜ
｜x-3|=-(x-3)=-x+3
|x＋1|=x+1

になるのですか？
|x-3|はマイナスがつくのですか？

回答No.3

freedom560

まずは｜x-3|＋|x＋1|≦6 を解くことからはじめましょう。

｜x-3|と|x＋1|がそれぞれ正になる条件を考えて場合わけします。

x＜-1のとき
｜x-3|=-(x-3)=-x+3
|x＋1|=-(x+1)=-x-1
-x+2-x-1≦6よりx≧-5/2
∴-5/2≦x＜-1

-1≦x≦3のとき
｜x-3|=-(x-3)=-x+3
|x＋1|=x+1
4≦6は常に成り立つ
∴-1≦x≦3

3＜xのとき
｜x-3|=x-3
|x＋1|=x+1
x-3＋x＋1≦6 よりx≦8
∴3＜x≦8

つまり｜x-3|＋|x＋1|≦6　の解は-5/2≦x≦8です。

あとは-2≦x≦4と比べてください。

回答No.2

pocopeco

ひきつづき、解説。
必要十分条件とは
Pが成り立つときは必ずQも成り立つ
Qが成り立つときは必ずPも成り立つ
という事なので、
P→Q(PはQの十分条件)　と
Q→P(PはQの必要条件)　の、２つの事を別々に証明する必要があります。

P→Q は、
（まずPが成り立つときはどんな時か考えます。Pはこのままでは計算しにくいので場合分けして絶対値記号をはずします）
x≧3 のとき
　(x-3)+(x+1)≦6
x≦4
　→3≦x≦4　　…（A）
-1≦x≦3のとき
-(x-3)+(x+1)≦6
4≦6
→（この範囲では常に不等式が成り立つ）-1≦x≦3 …(B)
x≦-1のとき
-(x-3)-(x+1)≦6
x≧-2
→-2≦x≦-1 …(C)
(A),(B),(C)から、-2≦x≦4　…(D)

Pが成り立つとき、xが式(D)を満たし、Qが成り立つ。(PはQの十分条件の証明終わり)

Q→Pを証明できたら、必要十分条件だと示したことになります。
以後は自力でやってみて～。計算はもう必要ないですよ。

回答No.1

pocopeco

まず、言いたいことはわかるんですけど、間違いを指摘
＃　●|x-3|≧0のときx-3
＃　|x-3|<0のとき-(x-3)
＃　●|x＋1|≧0のときx＋１
＃　|x＋1|<0のとき-(x＋1)
これらの不等式の左辺って全て絶対値記号はずしたものですよね？
＃　●(x^2)-2x-8=0をとくと
不等式で書かねばいけません。

補足

ごめんなさい
●(x^2)-2x-8≦0をとくと
(x-4)(x＋2)≦0
-2≦x≦4

です。
間違えてすいません。