- ベストアンサー
Sin[x]/xについて
こんにちは。Sin[x]/xについての質問です。 まずは、この極限、（x->０のとき）が、１になるのは解るのですが、もし無限大とした場合、｜Sin[x]/x｜＜１になるかと思います。これを証明するにはどうやって進めていったらいいのでしょうか？ それと、Sin[x]<xは、ｘ＞０の時成り立つのでしょうか？これも、どうやって証明したらいいでしょうか？ご教授ください。
- kenmogakeu
- お礼率24% (145/587)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (2)
- rangeru
- ベストアンサー率34% (15/44)
はさみうちの定理でいけると思います。 -1≦sinx≦1 なので、これをxで割って、 -1/x≦sin(x)/x≦-1/x これをx→∞に持っていくと -1/x→0 -1/x→0 なのでsin(x)/x→0 になります。 また、sin(x)＜xはx＞0のとき常に成り立つはずです。ちゃんとした説明ではないでしょうが関数f(x)=sin(x)/x の最大値が1なので。そんなグラフを見たことがあると思います。。 ちなみにExcelで少し計算してもこの結果になりました。
お礼
有難うございます。
- tadys
- ベストアンサー率40% (856/2135)
上のほうの検索ＢＯＸで “sin(x)/x”を検索してください。
お礼
有難うございます。しかしながら、検索しましたが全てが、x->0の場合のものばかりで、私の質問の内容とは違うものですので、引き続きアドバイスをいただけましたらお願いします。
関連するQ&A
- lim sin(x)/x について
少し前に質問がありましたし、過去の議論もあるようですが、私が納得できていないので質問としたいと思います。興味のある方は付き合ってください。質問はsin関数の微分を導出する基礎的な関係式 lim{x->0}sin(x)/x=1 スタート地点はこの式を証明した後にsinの微分を求めることを念頭においています。逆のロジックは受け付けません。 それで結局私がいきついたのは円周と外接円の議論ですが、それは積分法を認めると自明だとおもうのです。弧の長さを積分で書けば ∫dx√[1+(dy/dx)^2] －－－（１） となり、ここで微分dy/dxが出てきますが、ここで傾きdy/dxは円の形から外接円の接線より常に小さくなります。（図がなくてすみません。）よって微分が分らないけど、弧の長さは外接円で抑えられると思います。 数学的には円のグラフの単調減少性という言葉になると思います。 それでsinの微分は分らないけど、これで外接多角形の円周がながくなるというのはこれで証明されるといってはいけないんでしょうか？何か見落としがあるんでしょうか？ 外接多角形の方が円周が長いことが証明できるなら、問題の極限は sin(x)≦x≦sin(x)+[1-cos(x)] －－－（２） をつかってハサミうちすればよいと思います。このハサミうちは直感的には分りやすいので高校レベルの証明ならこれで問題ないと思いますがどうでしょう？ 質問は外接多角形の円周のほうが長いのは（１）と円のグラフの単調減少から示されるかどうか。（２）のハサミうちに落とし穴があるのかどうかの２点です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- |x-sin(x)|≦x^2/πの証明
lim[x→0] sin(x)/x = 1をε-δ論法で証明するとき |x-sin(x)|≦x^2/π (∀x∈R) 両辺を|x|で割って |1-sin(x)/x|≦|x|/π (∀x∈R＼{0}) δ=πεと置くと ∀ε> 0 ∀x∈R (0 < |x| < δ=πε⇒|1-sin(x)/x|≦|x|/π<ε) この一番最初の式の証明が出来ません。 循環論法になってしまうので三角関数の微積分を使用せずに証明してください。
- 締切済み
- 数学・算数
- sin(2x)/1+cos(2x) = tan(x)の証明をお願いしま
sin(2x)/1+cos(2x) = tan(x)の証明をお願いします 恐れ入りますが、途中式もご教授をお願いします 理解力が乏しいのでどうか助けてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- lim_（x→π/4) (sin x -cosx) / ( x - π/4) の極限値
いつもお世話になっています。 極限値を求める問題２問です。 (1) lim_(x→π/4) (sin x - cos x) / (x - π/4) x-π/4 を t と置いて考えてみたのですが、途中から分からなくなり ました。 (2) lim_ (x→1) (x-1)/{^3√(x) -1} よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開とsin(x)
P_2n+1(x)を2n+1番目のsin(x)のテイラー展開とするとき、 sin(x) = P_2n+1(x) + R_2n+1(x)とする。 この場合、P_2n+1(x^2)がsin(x^2)のテイラー展開の4n+2番目であることを証明します。 lim R_2n+1(x^2) = 0 n→∞ を使えばこの証明ができるようなのですが、どう使うのかが分かりません。
- 締切済み
- 数学・算数
- エクセルでsin(x)のグラフを書く・・
エクセルで、データがあるものをグラフにするのはわかるのですが、SIN(ｘ）のように、ｘの範囲が無限のもののグラフが書けるらしい（？）のですがどのようにやるのでしょうか？ エクセル初心者ですみません。 おしえていただけるとうれしいです！
- 締切済み
- オフィス系ソフト
- lim(x→0)sin x / x = 1の証明は何の定理を使用するのでしたっけ？
質問通りです。 lim(x→0)sin x / x = 1の証明は何の定理を使用するのでしたっけ？ふと当たり前のように使っていたのに度忘れしました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- sin1/x^2>-1 大小比較
大学の過去問題で f(x)=x+x^2sin1/x^2(x≠0) f(x)=0(x=0) x=0近傍で増加関数でないことを証明せよ という問題があるんですが まったくわかりません ヒントでx>0の時 1+xsin1/x^2>0 を示せばよい。 とあるんですがこれもまた証明できなくて困ってます どなたか解ける方教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫ sin(x)/x dx (0＜x＜∞)
∫ sin(x)/x dx (0＜x＜∞)=π/2 というのはどのように計算するのでしょうか？ 複素積分にして原点を避けた経路で積分すればうまく計算できるかなーとか考えたのですがうまくいかなくて困ってます。 ご教授ください。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
大変参考になりました。有難うございます。