|x-sin(x)|≦x^2/πの証明

質問

lim[x→0] sin(x)/x = 1をε-δ論法で証明するとき

|x-sin(x)|≦x^2/π (∀x∈R)
両辺を|x|で割って
|1-sin(x)/x|≦|x|/π (∀x∈R＼{0})
δ=πεと置くと
∀ε> 0 ∀x∈R (0 < |x| < δ=πε⇒|1-sin(x)/x|≦|x|/π<ε)

この一番最初の式の証明が出来ません。
循環論法になってしまうので三角関数の微積分を使用せずに証明してください。

回答No.9

178-tall

意味不明だった。
…ので、訂正。

　　↓

この命題の証明だけなら、
　f '(x) = 2x/π - 1 + cos(x) = 0
が x =π にて成立つこと、から。
(目算でわかりますネ)

回答No.8

178-tall

>…微積分を使用せずというのは撤回します。

>グローバルにみると？
>
>　f(x) = (x^2)/π - {x - sin(x) }
>は x = π にて極小になり、f(π) = 0 である。

この命題の証明だけなら、
　f '(x) = 2x/π - 1 + cos(x)
が x =π にて極小零になること、から。
(目算でわかりますネ)

>x-sin(x) の原点近傍での誤差は x^3/3! 程度。
…なので、
　f(x) = (x^2)/K - {x - sin(x) }
がどこかで「極小値 = 零」にならないか、ANo.4 の手口で探しても見つかりそうです。

回答No.7

178-tall

>循環論法になってしまうので三角関数の微積分を使用せずに証明してください。

おそらく「三角関数の微積分」つまり三角関数の微分操作ないし三角形をめぐる微細解析なしには、証明不能。

逆に、この命題を使うのは「循環論法」じゃないと思われます。
　　　　　　　↓
>　f(x) = (x^2)/π - {x - sin(x) }
>は x = π にて極小になり、f(π) = 0 である。

補足

級数展開を定義とすれば、項別微分でsin(x)/x=1 (x→0)を使わず微分できますね。
ですから微積分を使用せずというのは撤回します。

|x-sin(x)|とx^2/πは偶関数でx=0で真だから、
x>0の時f(x)のゼロ点がx=π以外に存在しないか
すべてのゼロ点が極小点になることを証明すれば
証明したといえるでしょうか。

となるとf(x)のゼロ点を解析的に求める必要がありそうです。

回答No.6

178-tall

ANo.4 は x の原点近傍のローカルなハナシでした。

グローバルにみると？

　f(x) = (x^2)/π - {x - sin(x) }
は x = π にて極小になり、f(π) = 0 である。

…というハナシ。

回答No.5

endlessriver

sin(x)を解析的に定義する必要があります。たとえば
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-...

とします。「収束級数では有限個の各項を括弧で括った和
としても級数の和は変わらない」という命題から、

１．まず２項づつ和を取って

sin(x)=x-Σ[n=1,∞]{x^(4n-1)/(4n-1)!}[1-x^2/{4n(4n+1)}]
とできる。0<x<2　とすると　x^2/{4n(4n+1)}<4/(4・5)<1

となり、Σの各項は正となり、sin(x)-x<0 (0<x<2)・・・(1)
となる。同様に　　　　　　 sin(x)-x>0 (-2<x<0)・・・(2)

２．次に

sin(x)=Σ[n=0,∞]{x^(4n+1)/(4n+1)!}[1-x^2/{(4n+2)(4n+3)}]
とできる。0<x<2とすれば　x^2/{(4n+2)(4n+3)}<4/(2・3)<1

すなわち、Σ内の{}は正、したがって、Σの各項は正となるから、第一項だけを取ると
sin(x)>x-x^3/6　すなわち、x-sin(x)<x^3/6・・・(3)

-2<x<0のときは同様に、Σの各項は負となり、第一項だけを取ると
sin(x)<x-x^3/6　すなわち、x^3/6<x-sin(x)・・・(4)

(1)(2)(3)(4)あわせて、0<|x|<2　において
|x-sin(x)|<|x|^3/6

となり、目的が達成します。蛇足ですが、δ=min(2,√(6ε))とおけばよい。
こだわるなら、さらに|x|<1すれば　|x|^3<|x|^2.

補足

|x|^3/6≦x^2/πが成立するのは|x|≦6/π＜1.91の時だけなのでこれでは証明できたとは言えないと思います。

回答No.4

178-tall

>x^2/π の分母をもっと増やしてやっても、クリアする模様。

任意の D > 0 に対し、
f(x) = x - sin(x) - (x^2)/D　　…(0)
　f(0) = 0

f'(x) = 1 - cos(x) - 2x/D　　…(1)
　f'(0) = 0

f''(x) = sin(x) - 2/D　　　…(2)
　f''(0) = -2/D < 0

…が成立するだろう。

ここから推測するに、原点近傍の x (x≠0) では f'(x) < 0 、f(x) < 0 らしい。
その x では f(x) < 0 → x - sin(x) < (x^2)/D なのだろう。

回答No.3

NemurinekoNya

あっ、間違っている。
大嘘をやっている（ポリポリ）。
足し算すら間違っているし（ポリポリ)。

NO２の回答は忘れてください。
なかったことにしてください。

回答No.2

NemurinekoNya

幾何学を使いましょう。

単位円で考えましょう。
すると、扇形と三角形の作る面積の関係から、
　───これは高校の数学で習っているはず───
0＜θ＜π/2で
　0＜sinθ＜θ　　　（I）
は明らか。
θ＝０の時は、
　sin0 = 0
としましょう。

ほいで、
（I）に-1をかけると、
　-θ＜-sinθ = sin(-θ)＜0

なので、
-π/2＜x＜π/2
とすれば、
　-x≦sinx≦x

で、x^2/πは、
-π/2＜x＜π/2では、
　x^2/π≧0

よって、
　-x≦sinx≦x
より、
　-x-x^2/π ≦ sinx ≦ x + x^2/π
　-x^2/π ≦ x - sinx ≦ x^2/π
ほいで、
　0 ≦ |x-sinx| ≦ x^2/π　= |x|^2/π

なんていかがでしょう。

回答No.1

178-tall

x-sin(x) の原点近傍での誤差は x^3/3! 程度。

x^2/π の分母をもっと増やしてやっても、クリアする模様。