OKWAVEのAI「あい」が美容・健康の悩みに最適な回答をご提案!
-PR-
解決
済み

解析の問題だと思うのですが。

  • すぐに回答を!
  • 質問No.200972
  • 閲覧数59
  • ありがとう数5
  • 気になる数0
  • 回答数7
  • コメント数0

お礼率 42% (8/19)

(1)p,qが自然数の時、B(p、q)を求めよ。但し、

     B(p、q)=∫{0~1} t^(p-1)*(1-t)^q-1dt
   である。
(2)次の等式を示せ。
          B(p、q)=Γ(p)*Γ(q)/ Γ(p+q)
回答の糸口すら見つかりません。どなたかお願いします。
通報する
  • 回答数7
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.7
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

{t^(p)*(1-t)^(q-1)}’
=pt^(p-1)*(1-t)^(q-1)-(q-1)t^(p)*(1-t)^(q-2)

両辺を、tで積分すると、
0=pB(p、q)-(q-1)B(p+1、q-1)
⇔B(p、q)=(q-1/p)B(p+1、q-1)
      =(q-1/p)(q-2/p+1)B(p+2、q-2)
      =……
      ={(q-1)!(p-1)!/(p+q-2)!}×B(p+q-1、1)

さて、
B(p+q-1、1)=∫{0~1} t^(p+q-2)dt
{t^(p+q-1)}’= (p+q-1)t^(p+q-2) より、
B(p+q-1、1)=1/(p+q-1)

∴B(p、q)=(q-1)!(p-1)!/(p+q-2)!×{1/(p+q-1)}
=(q-1)!(p-1)!/(p+q-1)!    (1)


Γ(t)=∫{0~∞} e^(-x){x^(t-1)}dx (t>0)がガンマ関数である。
{e^(-x)(x^t)}’=-e^(-x)(x^t)+te^(-x){x^(t-1)} より、両辺を0≦x≦∞の範囲でxで積分すると、
0=-Γ(t+1)+tΓ(t)
⇔Γ(t+1)/Γ(t)=t  (∵0≦xのとき、0<e^(-x){x^(t-1)}であるので、Γ(t)>0である)

tが自然数のとき、
Γ(2)/Γ(1)=1, Γ(3)/Γ(2)=2,Γ(4)/Γ(3)=3,…, Γ(t)/Γ(t-1)=t-1より、
{Γ(2)/Γ(1)}×{Γ(3)/Γ(2)}×{Γ(4)/Γ(3)}×…×Γ(t)/Γ(t-1)=(t-1)!
⇔Γ(t)/Γ(1)=(t-1)!  
⇔Γ(t)=Γ(1)×(t-1)!=(t-1)!∫{0~1} e^(-x)dx=(t-1)! (2)

さて、 (1)と(2)より、
B(p、q)=(q-1)!(p-1)!/(p+q-1)!    
     =Γ(q)・Γ(p)/Γ(p+q)

以上!高校生の計算練習問題としては上々じゃ。
お礼コメント
doctorlove

お礼率 42% (8/19)

ありがとうございます。これで何とか助かりそうです。
投稿日時 - 2002-01-20 19:39:30
-PR-
-PR-

その他の回答 (全6件)

  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 33% (33/98)

部分積分はOKでしょうか? (fg)' = f'g + fg' ∴f'g = (fg)' - fg' ∴両辺を積分すると ∫f'g = fg - ∫fg' 定積分の場合は  b    b  b ∫f'g = [fg] - ∫fg' a     a  a (1) の式の場合、例 ...続きを読む
部分積分はOKでしょうか?

(fg)' = f'g + fg'
∴f'g = (fg)' - fg'
∴両辺を積分すると
∫f'g = fg - ∫fg'

定積分の場合は
 b    b  b
∫f'g = [fg] - ∫fg'
a     a  a

(1) の式の場合、例えば、f'、gを↓の様におくと
f'= t^(p-1)  g = (1-t)^(q-1)
f = 1/p * t^p g'= (q-1)*(-1)*(1-t)^(q-1)
となる。と言うことは、最初の式は…と変形出来ますよね?
その式と最初の式を見比べてみてください。

ここの計算まではOKですか?
宿題か何かなのでしょうか?
補足コメント
doctorlove

お礼率 42% (8/19)

ありがとうございます。ということは2番も同様にすればよいのですね。
投稿日時 - 2002-01-19 10:06:30


  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 33% (33/98)

(1) も (2) も定義通りの式を部分積分していけばOKです。 一回部分積分したときの式が元の式からどう変わるかを見れば、答えが導けると思います。 ΓはΓ関数(Γ(z) = ∫{0~∞} {exp(-t) * t^(z-1) } dt)ですよね? ...続きを読む
(1) も (2) も定義通りの式を部分積分していけばOKです。
一回部分積分したときの式が元の式からどう変わるかを見れば、答えが導けると思います。

ΓはΓ関数(Γ(z) = ∫{0~∞} {exp(-t) * t^(z-1) } dt)ですよね?
補足コメント
doctorlove

お礼率 42% (8/19)

もう少し詳しくお願いできませんでしょうか。
投稿日時 - 2002-01-18 23:20:30
  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

でた~! 計算で迷うぐらいなら苦労はないっすよねぇ。私なんか(1/2)!求めろとかいわれましたよ。この計算だけで終わるのでしたら、ご自分でがんばってください。 それ以上を望むのなら、能力を示してください。 ...続きを読む
でた~!
計算で迷うぐらいなら苦労はないっすよねぇ。私なんか(1/2)!求めろとかいわれましたよ。この計算だけで終わるのでしたら、ご自分でがんばってください。
それ以上を望むのなら、能力を示してください。
お礼コメント
doctorlove

お礼率 42% (8/19)

能力を示せと言われましても・・・。
とりあえず、これができないと進級できないので・・・・。
アドバイスありがとうございました。
投稿日時 - 2002-01-19 21:05:22
  • 回答No.4
レベル9

ベストアンサー率 33% (33/98)

> 2番 ΓはΓ関数(というのはよく分かってないのですが)Γ(z) = ∫{0~∞} {exp(-t) * t^(z-1) } dt らしいので、 それで(1)と同じように計算したら、一応、(1)と同じ答えを得ました。 ...続きを読む
> 2番
ΓはΓ関数(というのはよく分かってないのですが)Γ(z) = ∫{0~∞} {exp(-t) * t^(z-1) } dt らしいので、
それで(1)と同じように計算したら、一応、(1)と同じ答えを得ました。
お礼コメント
doctorlove

お礼率 42% (8/19)

ありがとうございます!
これで助かります。
投稿日時 - 2002-01-19 21:08:35
  • 回答No.5
レベル8

ベストアンサー率 41% (13/31)

ベータ関数の次の性質を用います   B(P,Q)=B(Q,P) B(P+1,Q)=P/(P+Q)*B(P,Q) B(P,Q+1)=Q/(P+Q)*B(P,Q) P、Qが自然数より B(P,Q)=(P-1)!*(Q-1)!/(P+Q-1)! また P、Qが自然数のとき ガンマ関数は Γ(P)=(P-1)! Γ(Q)=(Q-1)! となり B(P ...続きを読む
ベータ関数の次の性質を用います
  B(P,Q)=B(Q,P)
B(P+1,Q)=P/(P+Q)*B(P,Q)
B(P,Q+1)=Q/(P+Q)*B(P,Q)
P、Qが自然数より
B(P,Q)=(P-1)!*(Q-1)!/(P+Q-1)!

また P、Qが自然数のとき ガンマ関数は
Γ(P)=(P-1)! Γ(Q)=(Q-1)!
となり
B(P,Q)=Γ(P)*Γ(Q)/Γ(P+Q)

P、Qが整数でないときは
  微積分の重積の計算です
  Γ(P)*Γ(Q)を変換X=M(1-N) Y=MN して計算をするようです
お礼コメント
doctorlove

お礼率 42% (8/19)

ありがとうございました!こんなに短い回答になるのですね!
投稿日時 - 2002-01-19 21:11:41
  • 回答No.6
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

まだ閉じないところをみると、何か期待しているんですね。 2でsssoheiさんが部分積分の公式を丁寧に書かれていますが、これは見た目に美しくありませんよね。数学の公式は美しいものだけ覚えなくてはいけません。 部分積分の公式はだめですが、全体積分のテクニックは覚えておいてください。 たとえば、 ∫x^2sinxdx   を求めろといわれたら、 x^2cosxを微分すれば出てくる。 (x^ ...続きを読む
まだ閉じないところをみると、何か期待しているんですね。
2でsssoheiさんが部分積分の公式を丁寧に書かれていますが、これは見た目に美しくありませんよね。数学の公式は美しいものだけ覚えなくてはいけません。
部分積分の公式はだめですが、全体積分のテクニックは覚えておいてください。

たとえば、
∫x^2sinxdx   を求めろといわれたら、

x^2cosxを微分すれば出てくる。
(x^2cosx)’=2xcosx-x^2sinx       (1)
  
まだ2xcosxが残っている。これはxsinxを微分してやれば出てくる。
(xsinx)’=sinx+xcosx           (2)

まだ、sinxが残っている。これは、cosxを微分してやればでてくる。
(cosx)’=-sinx                (3)         
よって、2×{(2)+(3)}-(1)より、
2(cosx)’+2(xsinx)’-(x^2cosx)’=x^2sinx

である。あとは、両辺に∫dxをつけてやれば、
∫x^2sinxdx =2cosx+2xsinx-x^2cosx+C  (Cは積分定数)

はい出来上がり。やってることは微分の計算と連立方程式だけである。つまり、部分積分の公式はそれだけのことをわざわざもっともらしく書いてあるだけなのである。覚えるに値しないことがわかるでしょう。しかも計算が厄介である。

私の示した解法は積分を求めるにあたって、何を微分したら∫(~)dx の中身の(~)が出てくるかを追求しただけです。そして、この考え方は重要で、微分積分は、概念は積分で、計算は微分で行なうから簡単になるということにつながる。わたしの解法は最後に積分記号をつけただけです。根幹は微分と連立方程式。しかもシンプルで美しい。そしてなにより、解法が楽だということです。
ためしに、
∫e^xsinxdx  と  ∫e^xcosxdx
を考えてみてください。これを部分積分でやると大変だと思いますよ。
このQ&Aで解決しましたか?
関連するQ&A
-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


いま みんなが気になるQ&A

関連するQ&A

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ