標本化定理をわかりやすく教えて！

質問

”あるアナログ的な信号をデジタルデータにサンプリングする場合、原信号に含まれる周波数成分をすべて正確にサンプリングするためには、原周波数の2倍以上のサンプリング周波数が必要となる。これを標本化定理という。”

と言うことですが、サンプリングした時点で途中の情報を捨てているのに何故完全に復元できるのか、納得できません。

出来れば絵付きでわかりやすく説明してください！お願いします。

回答No.6

kimball · ベストアンサー

sin,cos もちゃんと習ったし、フーリエ展開ってのもわかった(つもり :-）、
だけど、周波数て結局何なんだ？、標本化定理の式は何を意味して
いるんだろう？　というのが貴方の質問かと思います。
（小生も、理系の大学を出たものの、下記本に出会うまでは
　ちいとも理解していないことに気がついたのです。）

講談社　ブルーバックス
ディジタル・オーディオの謎を解く　　天外伺朗　著
ISBN4-06 13268005 C0255 P600E

を読めば、目から鱗がとれること、請け合いです！！

残念ながら、今現在はAmazon.co.jpでもその他大手のWeb本屋でも
手に入らない可能性が大です。

ちなみに、著者名：天外伺朗(てんげ・しろう)　はＡＩＢＯでおなじみのソニーの
土井さん（らしい）です。　本当に理解している人だから、こういう
素晴らしい説明が書けるものだと感心せずにはいられません。

貴方がもし、教師でしたらどんなことをしても手にいれるべき本だと
おもいます。(この本では、ほかにCDに欠かせないクロスインタリーブ
符号の原理もあっとおどろくほど明快に記述されています。）

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以下、小生なりに上記バイブルの内容をまとめてみたものを投稿して
おきます。( 周波数、標本化の説明のところだけ）

（具体的説明の為、音の周波数とします。また、図がずれますので
　固定フォントにしてみてください）
さて、電波にせよ音にせよ、自然界にある波動は時間の周期関数です。
ですからその意味での周波数が定義できます。しかしこの時の周期をもって
描かれる曲線(F(t))は、いわゆるsin/con curveではない、複雑な任意の
形状をした曲線です。　そこで、人間はそういう形は複雑でも周期をもって
いる曲線をなんとかもっと分析しやすくする方法はないものかと考えた
のです。　で、フーリエさんという人が熱の伝導を研究しているときに
熱の分布の周期関数ってのはsin/conの基本周期とその倍数周期の足し合わせ
になることを証明しちゃったわけです。　つまり、周期関数ってのは
（実は周期関数でなくても任意の関数でいいのですが）sin/conの足し合わせ
で表せるということです。　これは、３次元空間の座標にたとえると、ある
任意の座標を決めるにはx,y,zという直交する座標軸を決めて、その各座標値
で示せるというのと同じです。　ちょっと違うのは周期関数の場合は座標軸に
あたるのが、sin/cos関数という関数ということです。しかも無限にある。

さて、ここで周波数のもうひとつの意味がおわかりになると思います。
そう、いわゆる周波数スペクトル（分析）の周波数というのは、こうした
sin/cos 関数の基本周期・倍周期を指しているのです。基本周期は分析対象
となる元の周期関数の周期をとります。

そしてこれで、”帯域制限”の意味もおわかりになると思います。
上記で、”無限”にあるsin/cos関数といいましたが、音の場合で
いうと２０ＫＨｚ(sin/cos の倍周波数）で止めても、もとの周期関数
（音）の形にはちいとも影響がないと仮定するというか、してしまう
わけです。

そうそう、あと、sin/cosと２種類の関数の足し合わせですが、実は
これはsinかcosかどっちかの関数１種類にしてしまいます。

　sin(a+b) = cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b) 　とかの公式で
　a*cos(x) + b*sin(x) = c*sin(x+d) c= sqr(a*2+b*2), d=tan(b/a)

てな具合に変形できます。　

ＦＦＴ（高速フーリエ変換装置）なる機械で表示される周波数スペクトル
の棒の長さは、実はこの”ｃ”なる定数なのです。

つまり、任意の音をＦＦＴにかけて、その周波数スペクトルをみると
下図のように表示されるのです。　

うーん、ここで、元の音のなめらかな曲線図を書けないのがつらいですが、
どうか想像してください。　そのなめらかな周期曲線が周波数（もう、
間違わないでください、ここでいう周波数とはsin/cosという直交関数の
きれいなcurveの周波数のことです）の含み具合が表示されるということです。

逆に言うと、下図のとおりの割合でsin/cos curveを足し合わせれば
元のなめらかな音の周期関数が再生できるということです。

|
| *
| *
| * *
| ** *
| ******
| *******
| ********
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz

ふー、やっとここで標本化定理です。

まず、驚くべき事実をいっちゃいます。標本化では、周波数（sin/cosの
ほうでっせ）情報を失うようにおもわれますが、実際は逆なのです。
情報はうしなわれるどころか、おまけがついてきます。

ここでは、20KHzまでのsin/cosを残したいので、44KHzで標本を
取った場合（想像してください。元の音のなめからな曲線を44K個
の箇所でとったパルス上の棒グラフとすることです。）

すると、その４４Ｋ個のパルス上の棒グラフを周波数スペクトル分析
（ＦＦＴ）にかけるとどうなるでしょうか？

そう、下記になるのです！！　

|
| *...............* *
| *...............* *
| * *...............* ** * *
| ** *...............* **** *
| ******...........************
| *******.........**************
| ********.......****************
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz　　　　　　44Khz　
　　　　　　　　　　　　　（44Khzのところを中心に
　　　　　　　　　　　　　　もとの周波数スペクトルの反転パターンを　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　背中合わせにしたパターンが現れます）

標本化を44Khzと、20Khzの２倍よりはちょっと多めにしたのは
上記図で、もとのなめらかな周期関数を再生するのに十分な
周波数のかたまりと、標本化でできる余分な周波数のかたまりの
間に隙間ができるようにするためです。　そう、これがエイリアシング
(Aliasing: Alias->"別名"というのが元の意味。)を防ぐということです。

もし、30Khzとかの20Khzの２倍以下の標本化をしてしまうと
下記図のようにAliasingが発生するわけです。こうなると
次にのべる再生方法では、もとの周期関数の再生は不可となることが
わかるでしょう。

|
| *........* *
| *........* *
| * *......* ** * *
| ** *......* **** *
| ******..************
| *********************
| *********************
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz　　30Khz　　　　44Khz　

うーん、最後の説明の再生方法なんですが、これも想像してもらうしか
ないです。　なんせ連続曲線図が書けないもので。

もう、おわかりでしょう、先にも書きましたが、もとのなめらかな
周期関数曲線を得るには、標本化で得られた20Khz以下のパターンだけを
取り出せばいいわけです。　そう、20Khzまでは100%素通りさせ、20Khz
以降の周波数はカットしてしまうフィルターを通せば良いのです。
（そんな理想的なフィルターは工学的にはできないそうですが）

んで、なんで２倍なのか、３、４倍でもいいじゃないかという質問の
答えは、　２倍で十分な情報がとれるのに、そんな無駄な！　ということ
です。　高周波装置ってつくるのが難しいらしいですからね。

おわり。　(一気に書いて、見直しはしておりません。あしからず。
　　　　　　是非、バイブルをお読みくださいませ）

お礼

非常にわかりやすい回答、ありがとうございました。

実はまだ学生で、通信工学で習ったのですが、講師が悪いのか私の頭が悪いのか(^^;)なかなか理解できなかったんですが、これまでの回答と今の説明でよくわかりました（つもりです）。

図書館でそのブルーバックスを探してみます。なければクロネコブックサービスか何かで探してみたいと思います。