留数積分及び複素積分

質問

I=(1/2Π)∫[-∞,∞][(x-ξ)/{(x-ξ)^2+h^2*n^2}]dξという
問題なのですが、n,h,xは定数として扱っていいと思います。
これを計算（留数を用いて）すると、I=(1/2Π)×2Πi×(1/2)=(i/2)となったのですが、これで合ってますか？

回答No.4

oyaoya65 · ベストアンサー

#1です。
留数を使った積分は閉路Cに沿って反時計回りに積分することが前提です。
#2-3さんの回答にもあるように
C1を実軸に沿っての -∞→∞の積分経路とすれば、任意の積分経路C2を加えて、閉路C=C1+C2を構成してやります。
C2に沿っての線積分がゼロになるように通常選びます。
f(z)=-(1/2)/(z-x-inh)+(-1/2)/(z-x+inh)
ですから各項について、又は2項の和について

C2をz=Re^(iθ),θ=0→π,R→∞
または
C2=C21+C22+c23に分割して
C21:z=R+jy,y=0→R
C22:z=x+jR,x=R→-R
C23:z=-R+jy,y=R→0
,R→∞
などの積分経路C2を設定して
∫[C2]f(z)dz＝0
が示せれば
留数による積分公式が使え、A#1の解がえられるわけです。

回答No.3

endlessriver

留数を求める積分は閉曲線C上のJ=∫C[(x-z)/{(x-z)^2+h^2*n^2}]dzです。これを実数の積分Iに対応させるため、x軸上で[-R,R]の直線(C1)を底とする+y側に半径Rの半円の周をC2とします。

したがってJの積分路としてC=C1+C2の閉曲線をとります。R→∞とするとC1の部分がIになります。すなわち、
２πi×（留数）=∫C=∫C1+∫C2
したがってC2の円周の部分の積分が決まらなければ留数を求めてもI=∫C1は決定できないのです。

そして、x軸直線上の（簡単な）積分が求まらないものなら、通常は半円上の積分はもっと困難です。したがって普通はこの部分がR→∞で０になることを利用します。

ただし、今回は半円でなく長方形を取れば積分できそうですが、実数の不定積分と同じことをより複雑にしています。

回答No.2

endlessriver

I=∫[-∞,∞][(x-ξ)/{(x-ξ)^2+h^2*n^2}]dξ
と留数に関係する積分
J=∫C[(x-z)/{(x-z)^2+h^2*n^2}]dz
は異なります。IはJの一部でなのです。JからIの部分を除いた部分が０にならなければ（０以外、線積分はほとんど計算不可能）、留数定理で積分値は求まらないのです。

つまるところ、線積分？が求まらないので留数定理を使うのですからん。

補足

は異なります。IはJの一部でなのです。JからIの部分を除いた部分が０にならなければ（０以外、線積分はほとんど計算不可能）、留数定理で積分値は求まらないのです。

というところの意味がよくわかりません。

回答No.1

oyaoya65

＞I=(1/2Π)×2Πi×(1/2)=(i/2)となったのですが、これで合ってますか？

留数が　-1/2
ですので
符号が違っています。
I=(1/2Π)×2Πi×(-1/2)=-(i/2)
となり正解は　-(i/2)
です。

補足

再計算したところ答えが合いました。
しかし、この留数の使い方はあってますか？
閉じた積分路である判断はどこでするのですか？