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輸送現象に関する問題

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テストに出た問題で解らないので教えてください。球型のタンクの大きさや、電気代などは自由に決めて良いそうです。
問題
 料金の安い深夜電力を使った家庭風呂用の電気温水器での問題。90度と70度のお湯が、入っている球型のタンクで、数時間後に40度の温水として使用することを考えたとき、どちらの温度に設定したタンクが経済的であるか考えよ。ただし、次の条件の下で考えよ。
(1)40度の温水にする場合には20度の水道水と混ぜて湯温を調節する。
(2)どちらも最初は40度にしたときには同じ湯量が得られる。
(3)タンクの球面からのみ放射し、温水取り出し口等は無視する。
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まず,問題の意味を考えてみましょう. (2)の条件があるので,90度の湯の方が少なくてすむ. すなわち,球型のタンクは90度用の方が小さくて済み, 当然表面積も小さい. 表面積が小さいほど熱が逃げにくいから,この点では90度の方が有利だ. でも,大気温度との差が少ない方が熱が逃げにくいから, こちらの要素は70度に有利だ. こりゃ,よく考えないといけないや. こういう話です. ...続きを読む
まず,問題の意味を考えてみましょう.

(2)の条件があるので,90度の湯の方が少なくてすむ.
すなわち,球型のタンクは90度用の方が小さくて済み,
当然表面積も小さい.
表面積が小さいほど熱が逃げにくいから,この点では90度の方が有利だ.
でも,大気温度との差が少ない方が熱が逃げにくいから,
こちらの要素は70度に有利だ.
こりゃ,よく考えないといけないや.

こういう話です.

例えば,40度の湯を1キロリットル作るなど考えてみると,
必要な湯量は
(1)   V(90):V(70) = 5:7
であることは簡単にわかります.
V(90) は90度の湯の体積.

球型タンクの表面積を S(90),S(70) で表しますと,
体積は半径の3乗に比例,表面積は2乗に比例ですから
(2)  S(90):S(70) = 5^(2/3):7^(2/3)
です.
大気中に逃げる熱は大体,(温度差)×(表面積に)に比例するとします
(ニュ-トンの冷却の法則).

したがって,大気温をθとすると,当初に逃げる熱Qは
(3)  Q(90):Q(70) = 5^(2/3)×(90-θ):7^(2/3)×(70-θ)
すなわち,
(4)  Q(90)/Q(70) = (5/7)^(2/3)×{(90-θ)/(70-θ)}

あとは,適当にθを設定してみてください.

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