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三角正規行列が対角行列であるのはどうして?

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お礼率 41% (79/189)

「正規行列が三角行列であるときその行列は対角行列である」
の説明に両者の成分比較をすれば明らかであると本に書いてありました
それ以上説明がないので困っています
誰か分かりやすく示してください
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回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 45% (14/31)

 数学は忘れてしまいました。現役大学生が見たら笑われるかもしれませんがこんな感じじゃない? 行列Aが正規行列であるとき AA’=A’A が成り立つのは知っていますよね。 ここではA’はエルミート行列(ユニタリ行列でも可、実数の場合は対象行列、直交行列でも可)だと思ってください。 エルミート行列は A’=A --------------------------------(1) を満たします。(A’ ...続きを読む
 数学は忘れてしまいました。現役大学生が見たら笑われるかもしれませんがこんな感じじゃない?
行列Aが正規行列であるとき AA’=A’A が成り立つのは知っていますよね。 ここではA’はエルミート行列(ユニタリ行列でも可、実数の場合は対象行列、直交行列でも可)だと思ってください。
エルミート行列は A’=A --------------------------------(1)
を満たします。(A’が実対象行列や実直交行列も同じ)
 ためしに3×3行列で証明してみましょう(N×N行列でも同じになります)。
もし、いま正規行列Aが三角行列であるとき、

--------------{ a b c }        
-----------A={ 0 d e }
--------------{ 0 0 f }行列の書き方がわからないのでこういう表記になりました。

とすると
---{ a' 0  0 }
A’={ b' d' 0 }
---{ c e' f' }

になるはずです。 (1)より A-A'=0 でなくてはならないので
b=c=e=0 でなくてはなりません。対角成分のa,d,fが生き残るので、行列Aは対角行列である。

 こんなことはわざわざ証明するまでもないんじゃない?
まずは簡単な行列で自分で試してみる事を常に心がけてくください。 

      
補足コメント
nuubou

お礼率 41% (79/189)

大学生出てからだいぶたってますから笑いませんよ(^o^)

Aが上三角でエルミートの場合はnが自然数一般であってもi<jならば
a[j,i]=0(上三角条件)であり
a[i,j]=a[j,i]’(エルミート条件)であるから
a[i,j]=a[j,i]’=0であり対角になるのはすぐ分かるのですが

Aが正規行列でnが自然数の場合A’・A=A・A’の成分比較によって
a[j,i]=0からa[i,j]=0を導くのがなかなか難しいのですが
エルミートと違って正規は非0成分が多いですからね

よろしくお願いします
投稿日時 - 2002-01-10 00:07:53
お礼コメント
nuubou

お礼率 41% (79/189)

補足の修正をします

Aが上三角でエルミートの場合はnが自然数一般であってもi<jならば
a[j,i]=0(上三角条件)であり
a[i,j]=a[j,i]’(エルミート条件)であるから
a[i,j]=a[j,i]’=0であり対角になるのはすぐ分かるのですが

Aが正規行列でnが自然数の場合A’・A=A・A’の成分比較によって
a[j,i]=0からa[i,j]=0を導くのがなかなか難しいのですが
エルミートと違って正規は対称成分間に簡単な関係がないですからね

よろしくお願いします
投稿日時 - 2002-01-10 02:02:48

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