ナイキスト周波数

質問

本やネットでナイキスト周波数という言葉を調べると
「サンプリング周波数の半分」と書かれている場合と「元の波形に含まれる最高周波数の2倍」と書かれている場合がありました。両者は等しくないと思うのですが、どちらが正しいのでしょうか？

回答No.3

blu_mntn

あはは、えーと、これは大学の講座か何かのレジュメないし教科書でしょうか?
数式が苦手な理系、理論は学校卒業まで(15年前)、サンプリングが一応関係する仕事をしていたのは10年前、というロートルに対して、厳しいリンクですね。。。
私が学生時代は日本にはインターネットは存在せず、研究機関限定のメール等しかなかったのですよ。私共は毎日、教授、助教授、講師の読みづらい字をノートに書き写していたのだから羨ましい時代です。とまぁ、ジジイの愚痴はこれくらいにして、

あくまで「数学が苦手な変な技術者」の解説として読んでください。

ご質問は
>fn=fm=fs/2が正しいということですね。
>しかしながら、はっきりとfn=2fmで定義されている教科書等もいくつかありました。
という現実に対して数式的には納得できないということでよろしいでしょうか。
以下回答しますね。わかりづらいのは、私のような三流技術屋の答えを読まされてしまった不運と諦めて??ください。もちろん反論、再質問は可能な限りお答えします。

回答:
数学で言うなら、fn=fs/2(fs=2fnも同じ)は定義だから正しい(というか、それを定義としているので正しいもなにもない、とも言うが。)。
この理屈自体は、よろしいでしょうか?　利用目的がどうあれ、これが数学的定義なのです。

提示頂いたURLを参照しますと原信号の最大周波数をw(Hz)としていますね。そして「1/2w間隔でサンプリングした値を示している。このサンプリング間隔をナイキスト間隔と呼ぶこともある。また、ｆs＝２ｗとなる周波数をナイキスト周波数と呼ぶ。 」とあります。

ここでは、ナイキスト周波数fnは、日本語にはありますが、数式上では端折られて明示的に表現されていません。
先の私の説明を思い出して頂くと、原信号中の取得しうる最大周波数はfmで表現していましたね。つまりｗ=fmということです。
そして先の説明で記述した{後者}の式は、2fn=2fm=fs すなわち、fs=2fn=2fm=２ｗとなり、fs=２ｗで、先の説明とこのURLの教科書文は同じ式を表現していると思えます。

>しかしながら、はっきりとfn=2fmで定義されている教科書等もいくつかありました

このURLの教科書では、以前のセクションを読んでいないのでなんとも言えませんが、ωsを定義しないで使っていますよね、一方でいきなりグラフにfs>２ｗを図式に出しています。
申し訳ないのですが、「はっきりとfn=2fmで定義されている」ようには私には読み取れませんでした。

一見私の説明と全く違うように思える(が、実は同じ説明をしている)のは「角周波数」の概念を導入し、グラフを使って説明している点です。
本質的に同じものを別の切り口から説明しています。

私の説明は前回説明条件(b)に「のぞましい」なんて日本語が入っちゃって数学の式ではないですね。
これを数学で表現するために、角周波数を導入して視覚化しているのですが、過去、私は周波数(一秒間に何回)なのになんで円や半円のグラフが出ているんだ???と悩んだものです。

すなわち、どちらかというと各周波数で数学的に説明するために、fs=2fn=2fm=２ｗを複雑に書いている様に思えますが。

私は学者ではなく技術者ですので、角周波数を導入すると見た目にもいいし、「のぞましい」なんて日本語が入っちゃうくらいなら、角周波数を使ってでも数式で表現しよう、なんて考えてはもって居ません。自分が理解して、作ったものが動きゃそれでいいので。
すんませんね。言い訳にしか聞こえないかもしれませんし、私が間違っている可能性もありますが。

ご提示いただいたURLのページ内では「fn=2fmで定義」が読み取れませんでした。あくまで　fs=2fn=2fm　と思うのですが。

あと、私の経験上、当時は世間に知られ始めた技術であったため一知半解のひとも多かったのか、「fn=2fmで定義」のような参考書は、じつは結構見ました。それで混乱したこともありました。

私は単なる記述の間違いだと思うのですが、もしかすると、最初から「fn=2fmで定義」するAD変換分野があり、ナイキスト周波数には二種類の定義があるのかも知れません。
私自身は先の説明を一意としてそれ以外のナイキスト周波数は存在しないと理解しているのですが。

お礼

blu_mntn様、ご丁寧な回答、ありがとうございます。

前回提示いたしましたURLの文章は周波数と角周波数が混在していて、あまり適切な例でありませんでした。
fn=2fmと定義された文献の例として、たまたま、検索で見つけたものでして、あまり内容は確認しておりませんでした。申し訳ございませんでした。

>私の経験上、当時は世間に知られ始めた技術であったため>一知半解のひとも多かったのか、「fn=2fmで定義」のよう>な参考書は、じつは結構見ました。それで混乱したことも>ありました。

実は私も大学の図書館にある古い（10年くらい前）文献で調べておりました。そこで本屋に立ち寄り、最近の文献でナイキスト周波数がどのように定義されているか調べてきました。

たまたま手に取った5冊の信号処理関係の入門書のうち、
1冊が「サンプリング周波数の半分の周波数をナイキスト周波数」つまりfn=fs/2で定義されており、
4冊が「エアリシングを起こさない限界のサンプリング周波数をその信号のナイキスト周波数」
つまりfn=2fmと定義されておりました。
調べた数が少ないので、どちらが正しいのか判断はできませんが、やはり2種類の定義があるようです。

blu_mntn様のご意見は技術者の方が一般に使われる定義として理解させていただきます。
度重なるご丁寧な解説まことにありがとうございました。